Permutazioni e omomorfismi

[manuelb93]

Buonasera, chiedo un aiuto per il seguente esercizio:
Sia $\sigma\ in\ S_11$ la permutazione definita da
$\sigma =((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), (10, 6, 1, 7, 11, 9, 8, 4, 5, 3, 2))$.
(1) Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l’ordine e la parità
di $\sigma$.
(2) Si dica (giustificando la risposta) se esistono omomorfismi non banali dal sottogruppo $<\sigma>$, generato da $\sigma$, al gruppo $(mathbb(Z))/mathbb(11Z)$.

Sul primo punto non ho problemi. Ho che la parità è +1 e l'ordine è 15.

Sul secondo punto brancolo quasi nel buio e chiedo gentilmente una mano.

[Shocker1]

Non controllo i conti sull'ordine, quindi sai che $o(\sigma) = 15$, allora $<\sigma>$ è un sottogruppo ciclico di ordine $15$, cioè è isomorfo a $\mathbb{Z//15Z}$. Allora il problema di trovare omomorfismi $f: <\sigma> \to \mathbb{Z//11Z}$ equivale a trovare omomorfismi da $\mathbb{Z//15Z} \to \mathbb{Z//11Z}$. Da qui in poi riesci a continuare? Ricorda che un omomorfismo che parte da un gruppo ciclico è completamente determinato da dove mandi un suo generatore $x$ e che l'ordine di $f(x)$ deve dividere l'ordine di $x$

[manuelb93]

"Shocker":Ricorda che un omomorfismo che parte da un gruppo ciclico è completamente determinato da dove mandi un suo generatore x e che l'ordine di f(x) deve dividere l'ordine di x

Posso quindi dire che i divisori di 15 sono 1,3,5,15, quindi per ogni $x\ in\ mathbb(Z\\15Z)$, $o(f(x))=1,3,5,15$. Se $o(f(x))=1$ oppure $o(f(x))=15$ ho l'omomorfismo banale, quindi mi concentro sui casi in cui $o(f(x))=3,5$. Ora non saprei se tentare un approccio per assurdo o altro.

[Shocker1]

Ricorda che $f(x) \in \mathbb{Z//11Z}$, ci sono elementi di ordine ${3, 5, 15}$ in questo gruppo?

[manuelb93]

Ok forse ci sono.
Dato un elemento $p\ in\ mathbb(Z\\nZ)$, l'ordine è definito come il minimo intero m tale che $m*p=0$
In $mathbb(Z\\11Z)$ è chiaro che gli unici elementi di ordine ${3,5,15}$ sono quelli banali poiché sono tutti valori coprimi con 11.

Almeno credo sia così.

[Shocker1]

"manuelb93":Ok forse ci sono.
Dato un elemento $p\ in\ mathbb(Z\\nZ)$, l'ordine è definito come il minimo intero m tale che $m*p=0$
In $mathbb(Z\\11Z)$ è chiaro che gli unici elementi di ordine ${3,5,15}$ sono quelli banali poiché sono tutti valori coprimi con 11.

Almeno credo sia così.

No è sbagliato. Non esistono elementi di quell'ordine, chi sarebbero questi elementi banali?

[manuelb93]

No infatti, stavo pensando stupidamente alla classe $[0]$ ma ovviamente nessuno dei valori può essere il minimo tale che $m*[0]=0$.

Grazie mille per l'aiuto

[Shocker1]

Perfetto, quindi non ci sono elementi di quell'ordine. Un altro modo di vederla è il seguente: l'ordine di un elemento $g$ di un gruppo finito $G$ divide $|G|$, quindi non ci sono elementi di ordine coprimo con la cardinalità del gruppo.