Permutazioni dispari e sottogruppi e calcolo combinatorio
Ragazzi, ho i un problema con i due seguente esercizi!
\(\displaystyle \bullet \)Sia \(\displaystyle n \) un intero \(\displaystyle >1 \)e sia \(\displaystyle H \) l'insieme delle permutazioni di \(\displaystyle S_n \) che non lasciano fisso l'elemento \(\displaystyle 1 \).
1) Provare che \(\displaystyle H \) non è contenuto in alcun sottogruppo proprio di \(\displaystyle S_n \);
2) Per \(\displaystyle n=6 \) determinare la cardinalità dell'insieme delle permutazioni dispari appartenenti ad \(\displaystyle H \).
e
\(\displaystyle \bullet \)Quante sequenze strettamente crescenti di lunghezza \(\displaystyle 10 \) si possono costruire con i numeri della tombola?
Per il primo esercizio non so proprio come procedere.. Per il secondo ho pensato invece a, visto che\(\displaystyle k=10 \) e \(\displaystyle n=90 \) (i numeri della tombola), la risoluzione sarebbe 90 in classe 10 (coefficiente binomiale). Ma mi sembra troppo semplice... D:
Grazie mille in anticipo!
\(\displaystyle \bullet \)Sia \(\displaystyle n \) un intero \(\displaystyle >1 \)e sia \(\displaystyle H \) l'insieme delle permutazioni di \(\displaystyle S_n \) che non lasciano fisso l'elemento \(\displaystyle 1 \).
1) Provare che \(\displaystyle H \) non è contenuto in alcun sottogruppo proprio di \(\displaystyle S_n \);
2) Per \(\displaystyle n=6 \) determinare la cardinalità dell'insieme delle permutazioni dispari appartenenti ad \(\displaystyle H \).
e
\(\displaystyle \bullet \)Quante sequenze strettamente crescenti di lunghezza \(\displaystyle 10 \) si possono costruire con i numeri della tombola?
Per il primo esercizio non so proprio come procedere.. Per il secondo ho pensato invece a, visto che\(\displaystyle k=10 \) e \(\displaystyle n=90 \) (i numeri della tombola), la risoluzione sarebbe 90 in classe 10 (coefficiente binomiale). Ma mi sembra troppo semplice... D:
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Per quanto riguarda il secondo esercizio ho trovato, cercando a ritroso nel forum, che già qualcun'altro aveva fatto la stessa domanda. Confermo il mio 90 in classe 10.
Per quanto riguarda il primo esercizio invece, qualcuno può darmi una dritta?
Per quanto riguarda il primo esercizio invece, qualcuno può darmi una dritta?
In realtà uso un metodo strano, ma elegante per il primo. Spero ti piaccia.
L'insieme complementare di \(H\) è l'insieme che fissa l'elemento \(1\). Chiamo questo insieme \(\overline{H}\) ed è facile verificare che è un sottogruppo. SUppongo per assurdo che \(\langle H\rangle\) sia un sottogruppo proprio. Allora \(\overline{H}\cup\langle H\rangle = G\) ma è assurdo in quanto l'unione di due sottogruppi propri non può essere \(G\) (per vederlo prova a determinare dove si trova il prodotto di un elemento del primo con uno del secondo).
Un altro modo consiste nel contare gli elementi di \(H\) (contiene troppi elementi). Puoi anche usare il fatto che essendo \(\bar{H}\) un sottogruppo allora \(H\) è unione di classi laterali e quindi arrivare alla considerazione che contiene troppi elementi.
L'insieme complementare di \(H\) è l'insieme che fissa l'elemento \(1\). Chiamo questo insieme \(\overline{H}\) ed è facile verificare che è un sottogruppo. SUppongo per assurdo che \(\langle H\rangle\) sia un sottogruppo proprio. Allora \(\overline{H}\cup\langle H\rangle = G\) ma è assurdo in quanto l'unione di due sottogruppi propri non può essere \(G\) (per vederlo prova a determinare dove si trova il prodotto di un elemento del primo con uno del secondo).
Un altro modo consiste nel contare gli elementi di \(H\) (contiene troppi elementi). Puoi anche usare il fatto che essendo \(\bar{H}\) un sottogruppo allora \(H\) è unione di classi laterali e quindi arrivare alla considerazione che contiene troppi elementi.
"vict85":
In realtà uso un metodo strano, ma elegante per il primo. Spero ti piaccia.
L'insieme complementare di \(H\) è l'insieme che fissa l'elemento \(1\). Chiamo questo insieme \(\overline{H}\) ed è facile verificare che è un sottogruppo. SUppongo per assurdo che \(\langle H\rangle\) sia un sottogruppo proprio. Allora \(\overline{H}\cup\langle H\rangle = G\) ma è assurdo in quanto l'unione di due sottogruppi propri non può essere \(G\) (per vederlo prova a determinare dove si trova il prodotto di un elemento del primo con uno del secondo).
Un altro modo consiste nel contare gli elementi di \(H\) (contiene troppi elementi). Puoi anche usare il fatto che essendo \(\bar{H}\) un sottogruppo allora \(H\) è unione di classi laterali e quindi arrivare alla considerazione che contiene troppi elementi.
Grazie per la risposta!
Per il primo punto va bene, ma per il secondo chiede di determinare la cardinalità delle permutazioni dispari di \(\displaystyle H \) in \(\displaystyle S_6 \)...
Nessuno può aiutarmi?
Non ho tempo di ragionarci sopra troppo comunque immagino che siccome \(H\) è il complementare di \(\overline{H} \cong S_{n-1}\), e che \(H\) ha quindi metà elementi pari e metà dispari, basti fare \(\displaystyle\frac{n! - (n-1)!}{2} = (n-1)\frac{(n-1)!}{2}\).
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