Permutazioni di un insieme - AIUTO ESERCIZIO

[sigma2008]

Ciao a tutti innanzitutto un saluto a tutti gli utenti del forum,sono un nuovo iscritto ho inserito questo messaggio con la speranza che qualcuno riuscisse a risolvermi il seguente esercizio:

Esistono in S9(9 pedice) due cicli "a" e "b" di lunghezza 4 tali che (123)^2 * (14368) = a^2 * b

P.S. L'asterisco indica la moltiplicazione.

In pratica io ho eseguito il quadrato del ciclo (123) e mi viene (132), ma da qui non so procedere perchè il mio libro è molto limitato su questo argomento,ho cercato in rete ma ci sono scritte cose che so gia.HELP ME.grazie...

[Megan00b]

a e b vanno intesi necessariamente disgiunti?

[vict85]

"sigma2008":Ciao a tutti innanzitutto un saluto a tutti gli utenti del forum,sono un nuovo iscritto ho inserito questo messaggio con la speranza che qualcuno riuscisse a risolvermi il seguente esercizio:

Esistono in S9(9 pedice) due cicli "a" e "b" di lunghezza 4 tali che (123)^2 * (14368) = a^2 * b

P.S. L'asterisco indica la moltiplicazione.

In pratica io ho eseguito il quadrato del ciclo (123) e mi viene (132), ma da qui non so procedere perchè il mio libro è molto limitato su questo argomento,ho cercato in rete ma ci sono scritte cose che so gia.HELP ME.grazie...

$(132)(14368) = x$

$x = (142)(368)$

Senza dubbio $a$ e $b$ non sono disgiunti (il numero di elementi che sono spostati sono 6)...

$a^2$ è il quadrato di un ciclo di ordine 4. Abbiamo $(a_1\ a_2\ a_3\ a_4)^2 = (a_1\ a_3)(a_2\ a_4)$

Quindi abbiamo $(a_1\ a_3)(a_2\ a_4)(b_1\ b_2\ b_3\ b_4) = (142)(368)$
$(a_1\ a_3)(a_2\ a_4)$ sono disgiunti quindi non possono appartenere allo stesso ciclo.
$(a_1\ a_3)(a_2\ a_4)(b_1\ b_2\ b_3\ b_4) = (12)(14)(38)(36)$

Poniamo quindi $(12)(38)(b_1\ b_2\ b_3\ b_4) = (12)(14)(38)(36)$
Semplifichiamo e abbiamo $(38)(b_1\ b_2\ b_3\ b_4) = (14)(38)(36)$ ma $(14)$ e $(38)$ sono disgiunti e quindi commutano. Quindi abbiamo $(38)(b_1\ b_2\ b_3\ b_4) = (38)(14)(36)$ e semplificando $(b_1\ b_2\ b_3\ b_4) = (14)(36)$ che non ha senso

Quindi non esistono $a$ e $b$ che sono soluzione dell'equazione.

[sigma2008]

Grazie mille

[vict85]

C'era un altro modo...

(142)(368) è pari
a^2b con a=4-ciclo, b=4-ciclo è dispari