Permutazioni cicliche, algebra 1
Sia alfa = (,16)(2,7,15,9,5,3,17,8,4,6,10,11,14)(12,13,18)
Determinare l'ordine del gruppo G=.
Ecco i miei passaggi...
580 congruo a 0 modulo 2 (ordine del primo ciclo )
580 congruo a 8 modulo 13 (ordine del secondo ciclo)
580 congruo a 1 modulo 3 (ordine terzo ciclo)
alfa^580 = secondo ciclo^8 per terzo ciclo^1
=(2,4,9,11,17,7,6,5,14,8,15,10,3)(12,13,18)
o(alfa^580)= 13 per 3
396 congruo a 0 modulo 2
396 congruo a 6 modulo 13
396 congruo a 0 modulo3
alfa^396 = secondo ciclo^6
=(2,17,14,3,11,5,10,9,6,15,4,7,8)
o(alfa^396)=13
G= intersezione è un sottogruppo sia di sia di , dunque
o
dicie 13 per 3 e divide 13, un divisore comune è quindi 1 e l'altro 13.
QUal'è l'ordine del gruppo G?? 1? 13? 2?
Semi potreste aiutare piegandomi anche il perchè!!
Determinare l'ordine del gruppo G=
Ecco i miei passaggi...
580 congruo a 0 modulo 2 (ordine del primo ciclo )
580 congruo a 8 modulo 13 (ordine del secondo ciclo)
580 congruo a 1 modulo 3 (ordine terzo ciclo)
alfa^580 = secondo ciclo^8 per terzo ciclo^1
=(2,4,9,11,17,7,6,5,14,8,15,10,3)(12,13,18)
o(alfa^580)= 13 per 3
396 congruo a 0 modulo 2
396 congruo a 6 modulo 13
396 congruo a 0 modulo3
alfa^396 = secondo ciclo^6
=(2,17,14,3,11,5,10,9,6,15,4,7,8)
o(alfa^396)=13
G=
o
dicie 13 per 3 e divide 13, un divisore comune è quindi 1 e l'altro 13.
QUal'è l'ordine del gruppo G?? 1? 13? 2?
Semi potreste aiutare piegandomi anche il perchè!!
Risposte
Il tex, il tex! E la dimostrazione del fatto che sottogruppi di gruppi ciclici sono ciclici. In quella dimostrazione c'è la risposta a tutte le tue domande.
Vabbe maurer non mi sei di grande aiuto...il tex il tex! Magari qlk spiegazione in piu mi farebbe comodo!
Magari qlk spiegazione in piu mi farebbe comodo!
Il TeX era per dire che senza formule (click!) si capisce poco 
mmmm...questo è un esercizio della prof barile vero? ahahha...vabbè comunque io ho appena trovato un elemento di $ nn $ questo è:$\sigma=(\alpha^580)^3=(alpha^396)^4$ a questo punto trovo la sua decomposizione in cicli disgiunti $\sigma=<2,11,6,8,3,9,7,14,10,4,17,5,15>$ il cui periodo è $o<\sigma>$$=13$ quindi l'ordine di G è 13...credo sia giusto....se trovate eventuali errori avvisatemi
Se vai a studiare la dimostrazione della proposizione che ho citato, scoprirai che se [tex]H \le \langle g \rangle[/tex] e se il periodo di [tex]g[/tex] è [tex]n[/tex] allora [tex]H[/tex] è ciclico e [tex]H = \langle g^k \rangle[/tex] dove [tex]k[/tex] è il minimo intero positivo tale che [tex]g^k \in H[/tex]. Per di più, saprai bene che l'ordine di [tex]g^k[/tex] è [tex]\frac{n}{\text{gcd}(k,n)}[/tex], dove con [tex]\text{gcd}(\cdot,\cdot)[/tex] denoto il massimo comun divisore di due numeri.
Ora, mettendo tutto insieme, scopriamo che in generale il sottogruppo [tex]H = \langle g^k \rangle \cap \langle g^h \rangle[/tex] è generato da [tex]g^{\text{gcd}(k,h)[/tex]. Infatti, ogni elemento di [tex]H[/tex] è della forma [tex]g^{a k + b h[/tex] dove [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex]. Per il teorema di Bézout [tex]\min\{a k + b h > 0, a,b \in \mathbb{Z}\} = \text{gcd}(k,h)[/tex] e quindi segue la tesi, per quanto osservato prima.
Nel tuo caso, ti è sufficiente calcolare il massimo comun divisore tra 580 e 396... e poi calcolare l'ordine con il metodo illustrato sopra.
E' più chiaro, detto così?
Ora, mettendo tutto insieme, scopriamo che in generale il sottogruppo [tex]H = \langle g^k \rangle \cap \langle g^h \rangle[/tex] è generato da [tex]g^{\text{gcd}(k,h)[/tex]. Infatti, ogni elemento di [tex]H[/tex] è della forma [tex]g^{a k + b h[/tex] dove [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex]. Per il teorema di Bézout [tex]\min\{a k + b h > 0, a,b \in \mathbb{Z}\} = \text{gcd}(k,h)[/tex] e quindi segue la tesi, per quanto osservato prima.
Nel tuo caso, ti è sufficiente calcolare il massimo comun divisore tra 580 e 396... e poi calcolare l'ordine con il metodo illustrato sopra.
E' più chiaro, detto così?
scusate un attimo ma quando calcoliamo l'intersezione non vuol dire che devono valere contemporaneamente entrambe le condizioni?! e quindi se noi calcolassimo l'MCD tra i due numeri otterremmo le permutazioni che verificano la condizione o solo una alla volta o entrambe...ma noi le vogliamo considerare entrambe...quindi al massimo dovremmo calcolare l'mcm dei due periodi così otterremo sicuramente una permutazione appartenente all'intersezione il problema è che quella che troveremo facendo ciò è la permutazione identica che ha quindi periodo 1 ma l'insieme H avrà sicuramente periodo diverso da 1 poichè io ho trovato una permutazione diversa dall' identica appartenente ad H...non so...se ho sbagliato correggetemi perchè qualora avessi sbagliato vorrà dire che non ho capito niente fino ad ora....
"erdos1123":
scusate un attimo ma quando calcoliamo l'intersezione non vuol dire che devono valere contemporaneamente entrambe le condizioni?!
Ah, ops! Hai ragione. Beh, il mio discorso va bene per il sottogruppo generato da due elementi.
Per quanto riguarda l'intersezione, il generatore [tex]g^m[/tex] dovrà soddisfare la relazione [tex]g^m = g^{ak} = g^{bk}[/tex] e quindi effettivamente dovrà essere il minimo intero positivo [tex]m[/tex] per cui [tex]k \mid m[/tex], [tex]h \mid m[/tex], quindi [tex]m = \text{lcm}(h,k)[/tex].
Scusate per lo scivolone.
ah ok....ehehe...te lo giuro stavo proprio male...credevo di aver sbagliato tutto...pensavo di non aver capito niente...e mi sentivo veramente un coglione(scusate il termine)meno male che hai detto di esserti sbagliato...mi sento risollevato grazie
ma sei juppi? io sn vito! ahahaha
cmq grazie l stesso maurer ihihi
ihihi
cmq grazie l stesso maurer ihihi
ihihi
no vabbè...ahahahah si comunque sono giuppi ahahah
da ora in poi ti chiamerò erodos
ahahh come vuoi tu ahaha
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