Permutazioni che fissano elementi

[maxpix]

Buona sera, cosa si intende con " un insieme di permutazioni che fissano degli elementi"?
Ad esempio, si consideri $G = S9$ il gruppo delle permutazioni su $X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ si provi che $G$ è un sottogruppo di $S9$ che ha ordine $7!$.

Grazie

[maxpix]

Ad esempio una permutazione su X che fissa 1 e 2 potrebbe essere $(1) (2) (3, 7, 9) (4, 6, 5, 8)$?

P.s. le virgole non dovrebbero esserci ma lo spazio non riesco ad inserirlo.

[vict85]

"maxpix":P.s. le virgole non dovrebbero esserci ma lo spazio non riesco ad inserirlo.

Le virgole capita di vederle, se hai numeri grossi facilitano la lettura. Comunque uno spazio, in \(\displaystyle \LaTeX \) si fa con una barra inversa (\) seguita da uno spazio. Oppure anche con \, \; \> \: \enspace, \quad e \qquad (sono di dimensioni differenti li spazi)

Per esempio

\(\displaystyle a \ a \, a \> a \: a \; a \enspace a \quad a \qquad a \)

diventa \(\displaystyle a \ a \, a \> a \: a \; a \enspace a \quad a \qquad a \) (le distanze dovrebbero cambiare di più da una all'altra, non sembra funzionare alla perfezione ).

Sul metodo con i dollari funziona la barra inversa seguita da uno spazio ($a\ a$).

P.S.: Uno spazio "negativo" si fa con \!. Per esempio \(\displaystyle M\!A \) invece di \(\displaystyle MA \) (ci sono situazioni sensate per usarlo, certo non questa)

[vict85]

"maxpix":Buona sera, cosa si intende con " un insieme di permutazioni che fissano degli elementi"?
Ad esempio, si consideri $G = S9$ il gruppo delle permutazioni su $X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ si provi che $G$ è un sottogruppo di $S9$ che ha ordine $7!$.

Grazie

Una permutazione è una funzione biettiva da un insieme in sé.

Una funzione \(\displaystyle f \) fissa un elemento \(\displaystyle a \) se \(\displaystyle f(a) = a \). Nel caso di funzioni di diverso tipo, una funzione \(\displaystyle f \) fissa un insieme \(\displaystyle A \) se \(\displaystyle fA = A \) (seppur non necessariamente \(\displaystyle f(a) = a \) per ogni \(\displaystyle a\in A \)). In questo caso devi usare la prima definizione.

Nota che se \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) fissano a allora \(\displaystyle (f\circ g)(a) = f(g(a)) = f(a) = a \). Ricavi facilmente in modo simile che l'insieme delle funzioni che fissano dei particolari elementi forma un sottogruppo.

[maxpix]

Allora il la permutazione che avevo scritto è corretta. Ma per dimostrare che è un sottogruppo non posso applicare il teorema di Lagrange verificando che la cardinalità (coincide con l'ordine?) del sottogruppo divida la cardinalità del gruppo?

[vict85]

Il teorema di Lagrange non capisco a cosa serva in questo momento. Insomma 7! divide 9!, e allora? Devi dimostrarlo creando un isomorfismo tra \(S_7\) e \(X\).