Permutazioni

[valy1]

devo dimostrastare che per ogni permutazione esiste un'unica decomposizione in cicli disgiunti...ho delle grosse difficolta a dimostrare l'unicità..vi sarei grata di darmi qualche aiuto!!

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Data una permutazione $sigma in S_n$ puoi definire la relazione $sim$ seguente: $x,y in {1,...,n}$ sono in relazione se e solo se esiste un naturale $m$ tale che $sigma^m x=y$. Ottieni una relazione di equivalenza. Questo prova sia esistenza che unicità (l'unicità essendo evidentemente a meno dell'ordine) perché le classi sono identificabili a cicli (confondendo $overline{x}$ con $(x\ sigma x\ sigma^2 x\ ...)$) e formano una partizione di ${1,...,n}$ essendo $sim$ un'equivalenza. Piu' in dettaglio (sia $k$ il numero di classi):

- esistenza: basta osservare che, detta $overline{x}$ la classe di $x in {1,...,n}$, se $x_1,...,x_k$ sono rappresentanti delle $k$ classi hai $sigma = overline{x_1} ... overline{x_k}$ dove gli $overline{x_i}$ sono identificati a cicli nel modo descritto sopra.

- unicità: l'unico ciclo che contiene un dato $x in {1,...,n}$ è $overline{x}$.

Scopri che allora due elementi sono in relazione se e solo se stanno nello stesso ciclo della decomposizione.

[valy1]

perfetto!grazie