Permutazioni
Salve a tutti , sto facendo esercizi sulle permutazioni e questo in particolare mi lascia abbastanza spiazzato...
Come dovrei ragionare per trovare σ ??
Si consideri le seguenti permutazioni :
π =
1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 8 1 5 7 2 3
τ =
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 4 5 2 8 6 7
di S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Si determini, se esiste, la permutazione σ tale che σπ = τ σ.
Grazie a tutti e buona giornata!
Come dovrei ragionare per trovare σ ??
Si consideri le seguenti permutazioni :
π =
1 2 3 4 5 6 7 8
6 4 8 1 5 7 2 3
τ =
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 4 5 2 8 6 7
di S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Si determini, se esiste, la permutazione σ tale che σπ = τ σ.
Grazie a tutti e buona giornata!
Risposte
[xdom="vict85"]Il [regolamento]1_2[/regolamento] richiede un tentativo da parte tua.[/xdom]
Che tentativi hai fatto? Comunque, per le sezioni universitarie, dovresti cercare di imparare ad usare le [formule][/formule] il prima possibile. Se sai usare Latex, è molto semplice.
Un suggerimento:
Che tentativi hai fatto? Comunque, per le sezioni universitarie, dovresti cercare di imparare ad usare le [formule][/formule] il prima possibile. Se sai usare Latex, è molto semplice.
Un suggerimento:
Occorre innanzitutto verificare l'esistenza di $sigmainS_8$ tale che
$sigma eta=tau sigma<=>eta=sigma^(-1) tau sigma$
Quindi l'esistenza di $sigma$ si riconduce a verificare che $eta$ e $tau$ sono coniugate. Per far ciò occorre ricordare che due permutazioni sono coniugate se e soltanto se sono simili(cioè determinano la stessa partizione di 8(in tal caso)). Si decompone quindi $eta$ e $tau$ nel prodotto di cicli a due a due disgiunti:
$eta=(38)(167241)$
$tau=(687)(2345)$
La partizione di 8 determinata da $eta$ è $(2,6)$, mentre quella determinata da $tau$ è $(1,3,4)$. Essendo diverse le due partizioni, si ha che $sigma$ non esiste.
$sigma eta=tau sigma<=>eta=sigma^(-1) tau sigma$
Quindi l'esistenza di $sigma$ si riconduce a verificare che $eta$ e $tau$ sono coniugate. Per far ciò occorre ricordare che due permutazioni sono coniugate se e soltanto se sono simili(cioè determinano la stessa partizione di 8(in tal caso)). Si decompone quindi $eta$ e $tau$ nel prodotto di cicli a due a due disgiunti:
$eta=(38)(167241)$
$tau=(687)(2345)$
La partizione di 8 determinata da $eta$ è $(2,6)$, mentre quella determinata da $tau$ è $(1,3,4)$. Essendo diverse le due partizioni, si ha che $sigma$ non esiste.
grazie per la risposta ! non capisco soltanto qual'è il ragionamento di come le partizione di 8 da η sia (2,6) mentre quella determinata da τ è (1,3,4).
Per ciascuna permutazione,devi considerare le lunghezze dei cicli in cui è decomposta in ordine crescente; la somma di tali lunghezze deve essere 8 e, laddove ciò non accadesse, aggiungi come fattore iniziale il ciclo banale(permutazione identica) di lunghezza 1 e che non altera il prodotto, finchè la somma non fornisce 8.
Nel caso di $eta=(38)(167241)$, hai una trasposizione $(38)$ di lunghezza 2, ed un ciclo $(167241)$ di lunghezza 6, e quindi la partizione è $(2,6)$.
Nel caso di $tau=(687)(2345)$, hai un ciclo $(687)$ di lunghezza $3$ e un ciclo $(2345)$ di lunghezza $4$. La somma non è 8, ma $tau=(1)(687)(2345)$, e quindi la partizione è $(1,3,4)$.
Nel caso di $eta=(38)(167241)$, hai una trasposizione $(38)$ di lunghezza 2, ed un ciclo $(167241)$ di lunghezza 6, e quindi la partizione è $(2,6)$.
Nel caso di $tau=(687)(2345)$, hai un ciclo $(687)$ di lunghezza $3$ e un ciclo $(2345)$ di lunghezza $4$. La somma non è 8, ma $tau=(1)(687)(2345)$, e quindi la partizione è $(1,3,4)$.
Chiarissimo grazie per la spiegazione !
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