Permutazioni
Buongiorno, ho un dubbio riguardo le permutazioni che fissano un dato numero di elementi.
Cerco di spiegarmi:
se considero il gruppo simmetrico $S_5$, il sottogruppo $tau$ formato dalle permutazioni che fissano un elemento avró
$|tau | =(n-1)!$, quindi questo sottogruppo é isomorfo a $S_4$
Guardando invece in $S_5$ le permutazioni che fissano un elemento, ho visto che quelle della forma $2+2+1 =15$ e quelle
della forma $4+1 =30$. In tutto mi ritrovo 45 permutazioni che fissano un elemento più naturalmente
l'identitá.
Dunque non riesco a capire qual é il nesso con il gruppo $S_4$ che é firmato da $24$ permutazioni.
Qualcuno mi puó aiutare a capire, grazie.
Cerco di spiegarmi:
se considero il gruppo simmetrico $S_5$, il sottogruppo $tau$ formato dalle permutazioni che fissano un elemento avró
$|tau | =(n-1)!$, quindi questo sottogruppo é isomorfo a $S_4$
Guardando invece in $S_5$ le permutazioni che fissano un elemento, ho visto che quelle della forma $2+2+1 =15$ e quelle
della forma $4+1 =30$. In tutto mi ritrovo 45 permutazioni che fissano un elemento più naturalmente
l'identitá.
Dunque non riesco a capire qual é il nesso con il gruppo $S_4$ che é firmato da $24$ permutazioni.
Qualcuno mi puó aiutare a capire, grazie.
Risposte
Se affronti problemi diversi, raramente troverai risultati uguali.
Delle 120 permutazioni semplici di cinque elementi possibili, ve ne sono:
9 che lasciano al suo posto solamente un elemento prefissato (ad esempio il secondo), mentre i restanti cambiano posizione;
24 che lasciano un elemento prefissato al suo posto;
45 che lasciano un solo elemento (qualsiasi) al suo posto;
76 che lasciano almeno un elemento al suo posto.
Ciao
Delle 120 permutazioni semplici di cinque elementi possibili, ve ne sono:
9 che lasciano al suo posto solamente un elemento prefissato (ad esempio il secondo), mentre i restanti cambiano posizione;
24 che lasciano un elemento prefissato al suo posto;
45 che lasciano un solo elemento (qualsiasi) al suo posto;
76 che lasciano almeno un elemento al suo posto.
Ciao
Intanto grazie per la risposta. Per poter capire meglio quali sono le 24 permutazioni del gruppo $S_5$ che formano un gruppo isomorfo con $S_4$ mee ne potresti indicare qualcuna? In queste mi fai capire cosa significa lasciano un elemento prefissato.
Prendi una parola di 5 lettere diverse, es. "conta", questa ha 120 anagrammi (non necessariamente di senso compiuto).
Sceglia una delle cinque lettere, es. "t", fra i 120 anagrammi precedenti ve ne sono 24 che lasciano la "t" al quarto posto:
"conta" "coatn" "cnota" "cnato" "caotn" "canto" "ocnta".....
Ciao
Sceglia una delle cinque lettere, es. "t", fra i 120 anagrammi precedenti ve ne sono 24 che lasciano la "t" al quarto posto:
"conta" "coatn" "cnota" "cnato" "caotn" "canto" "ocnta".....
Ciao
Quindi, sperando di aver capito, il sottogruppo di $S_5$ isomorfo al gruppo $S_4$ é dato da tutte quelle permutazioi che fissano il $5$ e cioé
Ciao
Una curiositá, ma prendendo il sottogruppo delle permutazioni che fissano per esempio $1$ non si ottiene un
sottogruppo isomorfo sempre a $S_4$
Stessa cosa vale anche se fissò 2, 3, 4 naturalmente prendendoli separatamente..
sottogruppo isomorfo sempre a $S_4$
Stessa cosa vale anche se fissò 2, 3, 4 naturalmente prendendoli separatamente..
Sicuramente. Fissato un elemento qualsiasi, non importa quale, si ottiene sempre un sottogruppo isomorfo ad $ S_4 $.
[ot]Non dormi mai?
[/ot]
Ciao
[ot]Non dormi mai?
[/ot]Ciao
Grazie per la chiarezza.
Volevo un chiarimento: se volessi calcolare l'intersezione tra i due sottogruppi di prima che chiameró $H_1 nnH_5$
ottengo che l'ordine é $6$ ed é dato da ${i ,(23),(24),(34),(234),(243)}$ Questo rappresenta un altro sottogruppo.
Fi qui ci dovrei essere.
Ma se mi venisse chiesto di trovare l'ordine dato dall'intersezione di due sottogruppi per esempio di $S_15$ che fissano il primo i primi $2$ numeri e il secondo gli ultimi $3$, come dovrei procedere, mi devo forse calcolare tutte le permutazioni.
Volevo un chiarimento: se volessi calcolare l'intersezione tra i due sottogruppi di prima che chiameró $H_1 nnH_5$
ottengo che l'ordine é $6$ ed é dato da ${i ,(23),(24),(34),(234),(243)}$ Questo rappresenta un altro sottogruppo.
Fi qui ci dovrei essere.
Ma se mi venisse chiesto di trovare l'ordine dato dall'intersezione di due sottogruppi per esempio di $S_15$ che fissano il primo i primi $2$ numeri e il secondo gli ultimi $3$, come dovrei procedere, mi devo forse calcolare tutte le permutazioni.
"Alin":
mi devo forse calcolare tutte le permutazioni.
Nessuno ti proibisce di farlo e, se sono tante, può anche servire a combattere l'insonnia.
Nessuno ti costringe a farlo, se ci ragioni un momento: tutti gli elementi che non vengono bloccati da almeno una delle condizioni verranno permutati in tutti i modi possibili: otterrai sempre un gruppo isomorfo ad $ S_m $, dove $ m $ è la differenza fra $ n $ e...
Nell'esempio che proponi: una volta fissi $ 1 ; 5 $, l'altra i restanti tre; nell'intersezione troverai solo l'identità.
Ciao
Penso di aver capito!
I $2$ sottogruppi di $_15$ chiamiamoli $alpha$ é $gamma$. Precisiamo che $alpha$ fissa i primi due elementi e $gamma $ gli ultimi $3$.
Allora l'ordine di $alpha = (15-2)! =6227020800$ mentre l'ordine di $gamma = (15-3)! = 479001600$
In base al teorema di Lagrange l'ordine dell'intersezione dovrá dividere il massimo comune divisore dell'ordine dei due gruppi.
Il massimo comune divisore tra $(6227020800, 479001600) = 479001600$
Quindi l'ordine dell'interazione potrá essere, 792 divisori: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 27; 28; 30; 32; 33; 35; 36; 40; 42; 44; 45; 48; 50; 54; 55; 56; 60..
I $2$ sottogruppi di $_15$ chiamiamoli $alpha$ é $gamma$. Precisiamo che $alpha$ fissa i primi due elementi e $gamma $ gli ultimi $3$.
Allora l'ordine di $alpha = (15-2)! =6227020800$ mentre l'ordine di $gamma = (15-3)! = 479001600$
In base al teorema di Lagrange l'ordine dell'intersezione dovrá dividere il massimo comune divisore dell'ordine dei due gruppi.
Il massimo comune divisore tra $(6227020800, 479001600) = 479001600$
Quindi l'ordine dell'interazione potrá essere, 792 divisori: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 27; 28; 30; 32; 33; 35; 36; 40; 42; 44; 45; 48; 50; 54; 55; 56; 60..
$ alpha $ è isomorfo a $ S_{13} $; $ gamma $ è isomorfo a $ S_{12} $ e, visto che nessuno degli elementi fissati dall'uno coincide con elementi fissati dall'altro, l'intersezione sarà isomorfa a $ S_{15-5}=S_10 $.
Ciao
Ciao
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