Permutazione, ben definizione, controimmagine di un elemento
Salve a tutti ,mi appello a voi per farvi prendere sotto esame alcune risoluzioni di esercizi.
Esercizio n° 1 :
Ho questa permutazione
$\alpha = (1,4,10,7)(2,11,3,12,8,9,13,6,5) in S_13$
voglio mostrare che $H={\sigma in G | (\sigma\)^2(1)=1 , (\sigma\)^3(2)=2}$ è ciclico, e determinare ordine e generatore. Trovare 2 sottogruppi di H non Banali.
Ho ragionato cosi :
Se $\sigma in G$ è un elemento di $G=<\alpha>$ che soddisfa le condizioni richieste, allora , tutte le potenze di $\sigma$ soddisfano le condizioni richieste. Da cui $H$ è ciclico.
Quindi mi basta trovare un generatore di H.
Facendo un po di conti noto che se pongo $\alpha^6 = (1,10)(4,7)(2,12,13)(3,9,5)(8,6,11) in G$ soddisfa le condizioni richieste. Pertanto $H = <\alpha^6>$ . Confido che ho trovato $\sigma$ un poco a culo. Esiste un metodo più efficace , magari ragionando sugli ordini?
Al momento non riesco a vederlo.
Poi $ H' , H'' < H $ Poichè $|H| = 6$ posso trovare un sottogruppo di ordine due e uno di 3 di H.
E cioè $H' = <(1,10)(4,7)>$ e $H'' = <(2,13,12)(3,5,9)(8,11,6)>$ Giusto?
--------------------
Passo al secondo quesito.
Es n°2
sia $\phi : ZZ_4 x ZZ_6 -> ZZ_12$ un applicazione tale che per ogni a,b in Z.
$\phi ([a]_4,_6) = [9a+4b]_12$. Provare che f è ben definita, è un omomorfismo di anelli e determinare $\phi^-1([1]_12)$.
Per la ben definizione ho ragionato cosi. Devo mostrare che se
Se $[a]_4 = [a+4k]_4 , k in ZZ$ e $_6= [b+6k']_6 , k' in ZZ$
Allora $\phi ([a]_4,_6)=\phi ([a+4k]_4,[b+6k']_6)$
Allora $\phi ([a+4k]_4,[b+6k']_6)= [9(a+4k)+4(b+6k')]_12 = [9a+36k+4b+24k']_12 =$
$ [9a+4b]_12+[36k+24k']12=[9a+4b]_12+[12(3k+2k']= [9a+4b]_12 =$
$ \phi([a]_4,_6) $ pertanto l'applicazione è ben definita, giusto?
Per quanto riguarda l'omomorfismo non ho avuto grossi problemi. Lo è.
Poi determinare $\phi^-1([1]_12)$
significa determinare ${ ([a]_4 ,[a]_6) in ZZ_4xZZ_6 | \phi([a]_4 ,[a]_6) = [1]_12}$ giusto?
quindi se $\phi([a]_4 ,[a]_6) = [1]_12 => [9a+4b]_12=[1]_12$
Ho dunque
o $9a-=8b(mod12)$ ma $(9,12)=3 $ e dunque se $8b-=0(mod3) => b-=0(mod3)$
e quindi $3a-=0(mod4) => a-=0(mod4)$
dunque
$\phi^-1([1]_12)$ =
$ { ([a]_4 ,[a]_6) in ZZ_4xZZ_6 | \phi([a]_4 ,[a]_6) = [1]_12} =$
$ { ([a]_4 ,[a]_6) in ZZ_4xZZ_6 | b-=0(mod3) e a-=0(mod4)}$
Giusta la risoluzione?
Confido in una vostra risposta, cordiali saluti.
Esercizio n° 1 :
Ho questa permutazione
$\alpha = (1,4,10,7)(2,11,3,12,8,9,13,6,5) in S_13$
voglio mostrare che $H={\sigma in G | (\sigma\)^2(1)=1 , (\sigma\)^3(2)=2}$ è ciclico, e determinare ordine e generatore. Trovare 2 sottogruppi di H non Banali.
Ho ragionato cosi :
Se $\sigma in G$ è un elemento di $G=<\alpha>$ che soddisfa le condizioni richieste, allora , tutte le potenze di $\sigma$ soddisfano le condizioni richieste. Da cui $H$ è ciclico.
Quindi mi basta trovare un generatore di H.
Facendo un po di conti noto che se pongo $\alpha^6 = (1,10)(4,7)(2,12,13)(3,9,5)(8,6,11) in G$ soddisfa le condizioni richieste. Pertanto $H = <\alpha^6>$ . Confido che ho trovato $\sigma$ un poco a culo. Esiste un metodo più efficace , magari ragionando sugli ordini?
Al momento non riesco a vederlo.
Poi $ H' , H'' < H $ Poichè $|H| = 6$ posso trovare un sottogruppo di ordine due e uno di 3 di H.
E cioè $H' = <(1,10)(4,7)>$ e $H'' = <(2,13,12)(3,5,9)(8,11,6)>$ Giusto?
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Passo al secondo quesito.
Es n°2
sia $\phi : ZZ_4 x ZZ_6 -> ZZ_12$ un applicazione tale che per ogni a,b in Z.
$\phi ([a]_4,_6) = [9a+4b]_12$. Provare che f è ben definita, è un omomorfismo di anelli e determinare $\phi^-1([1]_12)$.
Per la ben definizione ho ragionato cosi. Devo mostrare che se
Se $[a]_4 = [a+4k]_4 , k in ZZ$ e $_6= [b+6k']_6 , k' in ZZ$
Allora $\phi ([a]_4,_6)=\phi ([a+4k]_4,[b+6k']_6)$
Allora $\phi ([a+4k]_4,[b+6k']_6)= [9(a+4k)+4(b+6k')]_12 = [9a+36k+4b+24k']_12 =$
$ [9a+4b]_12+[36k+24k']12=[9a+4b]_12+[12(3k+2k']= [9a+4b]_12 =$
$ \phi([a]_4,_6) $ pertanto l'applicazione è ben definita, giusto?
Per quanto riguarda l'omomorfismo non ho avuto grossi problemi. Lo è.
Poi determinare $\phi^-1([1]_12)$
significa determinare ${ ([a]_4 ,[a]_6) in ZZ_4xZZ_6 | \phi([a]_4 ,[a]_6) = [1]_12}$ giusto?
quindi se $\phi([a]_4 ,[a]_6) = [1]_12 => [9a+4b]_12=[1]_12$
Ho dunque
o $9a-=8b(mod12)$ ma $(9,12)=3 $ e dunque se $8b-=0(mod3) => b-=0(mod3)$
e quindi $3a-=0(mod4) => a-=0(mod4)$
dunque
$\phi^-1([1]_12)$ =
$ { ([a]_4 ,[a]_6) in ZZ_4xZZ_6 | \phi([a]_4 ,[a]_6) = [1]_12} =$
$ { ([a]_4 ,[a]_6) in ZZ_4xZZ_6 | b-=0(mod3) e a-=0(mod4)}$
Giusta la risoluzione?
Confido in una vostra risposta, cordiali saluti.
Risposte
Per il primo esercizio, se non sbaglio esiste questa proposizione
(*) Sia $\phi$ un k-ciclo e sian $n$ un numero naturale. Allora $\phi^n$ è prodotto di $d$ cicli di lunghezza $k/d$ essendo $d=mcd(n,k)$
... che fa proprio al caso tuo. infatti nota che $\delta= \alpha^i$ per qualche intero $i$ e quindi $(\alpha^i)^2= (\alpha^2)^i$ e analogamente $(\alpha^i)^3= (\alpha^3)^i$. Quindi la domanda che ci facciamo è per quali valori di $i$ abbiamo che $\alpha^2$ fissa 1 e inoltre $\alpha^3$ fissa 2 ?
Per la poposizione (*) $\alpha^2$ contiene un 2-ciclo che contiene 1 (infatti il 4-ciclo di $\alpha$ si spezza in due 2-cicli in $\alpha^2$. Pertanto se $i$ è pari i 2-cicli si annullano e $\delta^2=(\alpha^2)^i$ fissa 1. Allo stesso modo in $\alpha^3$ il 9-ciclo di $\alpha$ si spezza in tre 3-cicli, uno dei quali continene 2. Quindi se $i$ è multiplo di tre i 3-cicli si annullano e $\delta^3=(\alpha^3)^i$ fissa 2. Concludendo gli esponenti $i$ che ci servono sono quelli che sono pari e multipli di 3 ... cioè multipli di 6! Pertanto un generatore di $H$ è $\alpha^6$. La cosa interessante che devi notare è che non abbiamo fatto nessun calcolo, perchè quello che ci interessa veramente non è la permutazione $\alpha$ in sè quanto la sua struttura ciclica.
(*) Sia $\phi$ un k-ciclo e sian $n$ un numero naturale. Allora $\phi^n$ è prodotto di $d$ cicli di lunghezza $k/d$ essendo $d=mcd(n,k)$
... che fa proprio al caso tuo. infatti nota che $\delta= \alpha^i$ per qualche intero $i$ e quindi $(\alpha^i)^2= (\alpha^2)^i$ e analogamente $(\alpha^i)^3= (\alpha^3)^i$. Quindi la domanda che ci facciamo è per quali valori di $i$ abbiamo che $\alpha^2$ fissa 1 e inoltre $\alpha^3$ fissa 2 ?
Per la poposizione (*) $\alpha^2$ contiene un 2-ciclo che contiene 1 (infatti il 4-ciclo di $\alpha$ si spezza in due 2-cicli in $\alpha^2$. Pertanto se $i$ è pari i 2-cicli si annullano e $\delta^2=(\alpha^2)^i$ fissa 1. Allo stesso modo in $\alpha^3$ il 9-ciclo di $\alpha$ si spezza in tre 3-cicli, uno dei quali continene 2. Quindi se $i$ è multiplo di tre i 3-cicli si annullano e $\delta^3=(\alpha^3)^i$ fissa 2. Concludendo gli esponenti $i$ che ci servono sono quelli che sono pari e multipli di 3 ... cioè multipli di 6! Pertanto un generatore di $H$ è $\alpha^6$. La cosa interessante che devi notare è che non abbiamo fatto nessun calcolo, perchè quello che ci interessa veramente non è la permutazione $\alpha$ in sè quanto la sua struttura ciclica.
Di tale proposizione non ne ero a conoscenza, anche se può essere interpretata in questa maniera.
$\phi $ è un k-ciclo e $ n in NN$ Allora $o(\phi^n)= k|d$ Ove $d=mcd(n,k)$ giusto?
Ciò è dovuto dal fatto che se $o(\phi)=k$ allora $\phi^k = id$
Pertanto se voglio trovare $o(\phi^n) = l , l in ZZ$
Ho che voglio $\phi^(n(o(\phi^n))) = id$ da cui
$n*o(\phi^n) -=0(mod k)$ da cui $o(\phi^n)= q (k|d)$ $d=( n,k)$ da cui , poiché deve essere minimo e > di zero segue che :
$o(\phi^n)= k|n $ giusto?.
Quindi letta in altri termini se k è primo , allora , il ciclo rimane di ordine k, quindi rimane sempre un k-ciclo. Non si spezza.
Se non è primo allora , il ciclo n-simo ottenuto, ha ordine k|d. Quindi è prodotto d-cicli di lunguezza k|d , giusto? Perché questo? perché la somma delle strutture cicliche dei d-cicli deve far k? Cosa mi sfugge?
$\phi $ è un k-ciclo e $ n in NN$ Allora $o(\phi^n)= k|d$ Ove $d=mcd(n,k)$ giusto?
Ciò è dovuto dal fatto che se $o(\phi)=k$ allora $\phi^k = id$
Pertanto se voglio trovare $o(\phi^n) = l , l in ZZ$
Ho che voglio $\phi^(n(o(\phi^n))) = id$ da cui
$n*o(\phi^n) -=0(mod k)$ da cui $o(\phi^n)= q (k|d)$ $d=( n,k)$ da cui , poiché deve essere minimo e > di zero segue che :
$o(\phi^n)= k|n $ giusto?.
Quindi letta in altri termini se k è primo , allora , il ciclo rimane di ordine k, quindi rimane sempre un k-ciclo. Non si spezza.
Se non è primo allora , il ciclo n-simo ottenuto, ha ordine k|d. Quindi è prodotto d-cicli di lunguezza k|d , giusto? Perché questo? perché la somma delle strutture cicliche dei d-cicli deve far k? Cosa mi sfugge?
Non riuscivo proprio a ricordarmi dove l'avevo vista questa proposizione 
Poi l'ho trovata eccola qua
http://www.matematicamente.it/forum/dubbio-esercizi-su-permutazioni-t89016-10.html#p602072
Poi l'ho trovata eccola qua http://www.matematicamente.it/forum/dubbio-esercizi-su-permutazioni-t89016-10.html#p602072
Grazie mille!ù
Ringrazio perplesso per avermi illuminato riguardo la risoluzione dell'esercizio 1.
Ora
Evito di scrivere un'altro post, ma ho un dubbio che mi sta assalendo , anche se forse è piuttosto banale.
Ho
$B={[7a]_707| a in ZZ}$ è un sotto anello di $ZZ_707$. Mi chiede di dire se è dotato di identità moltiplicativa e in caso affermativo determinarla.
Io ho ragionato cosi :
B è unitario $<=>$ $ EE [7u]_707 in B , u in ZZ | AA [7a]_707 in B : ([7u]_707)*([7a]_707)= [7a]_707$ $<=>$$49au-=7a(mod707) =>7au-=a(mod101) => 7u-=1(mod101) $ Giusto? Mi verrebbe da dire che l'unità di B è $[102]_707$
Infatti , $7a*102-=7a(mod707)$
Ma se scelgo 7u= 203 Ottengo che $7a*203-=1421a-=7a(mod707)$ Quindi $[102]_707 e [203]_707$ risulterebbero essere unità di B. Ma ciò va contro all'unicità dell'elemento 1.
Ma poi toccherei un'assurdo.
$[102]_707$ non appartiene a B. Infatti se $[102]_707 in B => EE 7a in B | 7a-=102(mod707)$ Ma $(7,707)=7$ Ma 7 non divide 102! Pertanto non esiste un elemento di B tale che sia $[102]_707$. Ma allora B non è dotato di identità moltiplicativa.
Giusto? Cosa sbaglio? E' forse banale come cosa, ma mi reca non pochi dubbi.
Grazie a chiunque sia disposto a rispondermi.
EDIT :
ho ragionato in altra maniera, forse cosi è più lineare giungendo sempre alla stessa conclusione.
Allora :
Se $EE [7u]_707 in B | AA [7a]_707*[7u]_707 = [7a]_707 => 707 | 7a(7u-1) $ Da cui
Poiché $707 = 101*7$ Succede se e solo se, contemporaneamente $7|7a(7u-1) , 101|7a(7u-1) => 7|7u-1 e 101|7u-1$
Da cui
$7u-=0-=1(mod7)$ <-- assurdo
Pertanto B non è unitario.
Giusto?
Ora
Evito di scrivere un'altro post, ma ho un dubbio che mi sta assalendo , anche se forse è piuttosto banale.
Ho
$B={[7a]_707| a in ZZ}$ è un sotto anello di $ZZ_707$. Mi chiede di dire se è dotato di identità moltiplicativa e in caso affermativo determinarla.
Io ho ragionato cosi :
B è unitario $<=>$ $ EE [7u]_707 in B , u in ZZ | AA [7a]_707 in B : ([7u]_707)*([7a]_707)= [7a]_707$ $<=>$$49au-=7a(mod707) =>7au-=a(mod101) => 7u-=1(mod101) $ Giusto? Mi verrebbe da dire che l'unità di B è $[102]_707$
Infatti , $7a*102-=7a(mod707)$
Ma se scelgo 7u= 203 Ottengo che $7a*203-=1421a-=7a(mod707)$ Quindi $[102]_707 e [203]_707$ risulterebbero essere unità di B. Ma ciò va contro all'unicità dell'elemento 1.
Ma poi toccherei un'assurdo.
$[102]_707$ non appartiene a B. Infatti se $[102]_707 in B => EE 7a in B | 7a-=102(mod707)$ Ma $(7,707)=7$ Ma 7 non divide 102! Pertanto non esiste un elemento di B tale che sia $[102]_707$. Ma allora B non è dotato di identità moltiplicativa.
Giusto? Cosa sbaglio? E' forse banale come cosa, ma mi reca non pochi dubbi.
Grazie a chiunque sia disposto a rispondermi.
EDIT :
ho ragionato in altra maniera, forse cosi è più lineare giungendo sempre alla stessa conclusione.
Allora :
Se $EE [7u]_707 in B | AA [7a]_707*[7u]_707 = [7a]_707 => 707 | 7a(7u-1) $ Da cui
Poiché $707 = 101*7$ Succede se e solo se, contemporaneamente $7|7a(7u-1) , 101|7a(7u-1) => 7|7u-1 e 101|7u-1$
Da cui
$7u-=0-=1(mod7)$ <-- assurdo
Pertanto B non è unitario.
Giusto?
up!
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