Permutazione
ciao,
non so come risolvere il seguente esercizio:
data la permutazione $a=((1,2,3,4,5),(2,4,5,1,3))$ dire se:
i) $a$ ha periodo $5$
ii) $a^{-2}=a^4$
iii) $a^{12}(3)=5$
iv) $a$ è dispari
non so come risolvere il seguente esercizio:
data la permutazione $a=((1,2,3,4,5),(2,4,5,1,3))$ dire se:
i) $a$ ha periodo $5$
ii) $a^{-2}=a^4$
iii) $a^{12}(3)=5$
iv) $a$ è dispari
Risposte
Applicando le definizioni... che dovresti aver studiato prima di fare l'esercizio.
I punti ii) e iii) devi solo fare i conti.
Al punto i) devi verificare che $a^5$=identità (non so come la indichi)
Per il punto iv)... io mi rifarei al punto i) ricordando un importante risultato sulle trasposizioni (=permutazioni che scambiano 2 elementi e fissano gli altri).
I punti ii) e iii) devi solo fare i conti.
Al punto i) devi verificare che $a^5$=identità (non so come la indichi)
Per il punto iv)... io mi rifarei al punto i) ricordando un importante risultato sulle trasposizioni (=permutazioni che scambiano 2 elementi e fissano gli altri).
non conosco esattamente la terminologia, però puoi osservare che la permutazione si può scrivere come prodotto di due cicli, uno di ordine tre, uno di ordine due: $a=(124)(35)$, per cui ... solo la ii) mi sembra corretta, perché il periodo dovrebbe essere 6 e $a^(2k)(3)=3$. spero di non aver detto sciocchezze. ciao.
allora ho provato a risolvere l'esercizio nel seguente modo:
ii) calcolo $a^{-1}$, calcolo $a^{-2}$=$a^{-1}a^{-1}$, calcolo $a^2=aa$, calcolo $a^4=a^2a^2$ e vedo che $a^{-2}=a^4$
iii) calcolo $a^12=a^4a^4a^4$ e poi vedo che $a^12(3)=3$
iv) scompongo $a$ come $a=(14)(12)(35)$ e dico che è dispari
i) calcolo $a^5$ prima come $a^4a$ poi come $aa^4$, vedo che $a^4a=aa^4$, e vedo che $a^5$ non è l'identità, per cui il suo periodo non è $5$
credo che a questo punto l'esercizio l'abbia fatto in modo corretto, però non sono certo di averlo fatto nel modo più veloce e semplice possibile... c'è per caso qualche scorciatoia che non ho applicato? grazie ancora.
ii) calcolo $a^{-1}$, calcolo $a^{-2}$=$a^{-1}a^{-1}$, calcolo $a^2=aa$, calcolo $a^4=a^2a^2$ e vedo che $a^{-2}=a^4$
iii) calcolo $a^12=a^4a^4a^4$ e poi vedo che $a^12(3)=3$
iv) scompongo $a$ come $a=(14)(12)(35)$ e dico che è dispari
i) calcolo $a^5$ prima come $a^4a$ poi come $aa^4$, vedo che $a^4a=aa^4$, e vedo che $a^5$ non è l'identità, per cui il suo periodo non è $5$
credo che a questo punto l'esercizio l'abbia fatto in modo corretto, però non sono certo di averlo fatto nel modo più veloce e semplice possibile... c'è per caso qualche scorciatoia che non ho applicato? grazie ancora.
ii) va bene
iii) non serve. se $a^(-2)=a^4$ allora $id=a^6$ quindi a ha ordine 1,2,3 o 6. Quindi a^12=id quindi manda il 3 in 3.
iv) non è necessario ma va bene lo stesso.
i) dei possibili ordini che ho detto prima 1 non è, perchè a non è id.
se a ha ordine 2,3 o 6 allora $a^5$ non può essere l'identità.
Non so se è chiaro.
iii) non serve. se $a^(-2)=a^4$ allora $id=a^6$ quindi a ha ordine 1,2,3 o 6. Quindi a^12=id quindi manda il 3 in 3.
iv) non è necessario ma va bene lo stesso.
i) dei possibili ordini che ho detto prima 1 non è, perchè a non è id.
se a ha ordine 2,3 o 6 allora $a^5$ non può essere l'identità.
Non so se è chiaro.
scusate, ma non mi pare che sia corretto scrivere $a$ come ha fatto fctk nel punto iv)
i calcoli che ha fatto dimostrano anche (vedi punto iii) di Megan00b) che l'ordine è 6 (e quindi era giusta la mia precedente risposta) e da ciò tutti gli altri punti seguono in maniera immediata.
non capisco alcune perplessità.
ciao.
i calcoli che ha fatto dimostrano anche (vedi punto iii) di Megan00b) che l'ordine è 6 (e quindi era giusta la mia precedente risposta) e da ciò tutti gli altri punti seguono in maniera immediata.
non capisco alcune perplessità.
ciao.
Sì, infatti. Non avevo ricontrollato che fosse corretto. E' giusto come hai detto tu ada.
scusate non ho capito perchè dite che la scomposizione è sbagliata... $a=(14)(12)(35)=((1,4),(4,1))((1,2),(2,1))((3,5),(5,3))=((1,2,3,4,5),(2,4,5,1,3))$
Fallo così:
prendi un numero ad esempio 1.
scrivi (1
dove va l'1? in 2
quindi (12
dove va il 2? in 4
quindi (124
dove va il 4? in 1
allora puoi chiudere il ciclo
quindi (124)
poi prendi un altro (non considerato)
prendi 3
dove va il 3) in 5
quindi (35
il 5 va in 3 e quindi chiudi il ciclo
(35)
allora la scrittura in cicli è (124)(35) o (35)(124) che è lo stesso.
prendi un numero ad esempio 1.
scrivi (1
dove va l'1? in 2
quindi (12
dove va il 2? in 4
quindi (124
dove va il 4? in 1
allora puoi chiudere il ciclo
quindi (124)
poi prendi un altro (non considerato)
prendi 3
dove va il 3) in 5
quindi (35
il 5 va in 3 e quindi chiudi il ciclo
(35)
allora la scrittura in cicli è (124)(35) o (35)(124) che è lo stesso.
ps. quello che hai scritto non è sbagliato, ma la scomposizione che hai fatto non è in cicli disgiunti quindi non ti permette di lavorare agilmente con gli ordini. Anche la definizione di parità di una permutazione si riferisce alla sua scomposizione in 2-cicli disgiunti.
purtroppo la parte del libro sul quale sto studiando che tratta questo argomento non è delle più chiare... comunque riporto la definizione di permutazione pari/dispari:
non specifica che tali scambi (2-cicli) debbano essere disgiunti...
una permutazione $\sigma\in S_n$ si dice pari (dispari) se si decompone in un numero pari (dispari) di scambi.
non specifica che tali scambi (2-cicli) debbano essere disgiunti...
Sì scusa hai ragione... ho detto una fesseria. Per la parità puoi riferirti a 2-cicli qualsiasi.
Per l'ordine invece ti conviene lavorare con permutazioni disgiunte.
Per l'ordine invece ti conviene lavorare con permutazioni disgiunte.
è opportuno chiarire una cosa: io nel primo intervento ho scritto $a$ come ero abituata io, cioè come prodotto di cicli disgiunti. per questo ho mosso un'obiezione nel secondo intervento.
ora ho capito che cosa intendesse scrivere invece fctk: una composizione di 3 scambi.
nonostante continui a pensare che tale scrittura, oltre che meno pratica per trovare l'ordine, sia anche poco ortodossa perché fa pensare ad un prodotto (e 1 non può andare contemporaneamente in 2 e in 4), ho però capito che il "calcolo" è esatto, nel senso che si ottiene la permutazione con quella successione di 3 scambi. sono quindi del parere anch'io che $a$ sia dispari.
non era mia intenzione creare tanta agitazione, però spero almeno che la discussione sia stata utile.
ciao.
ora ho capito che cosa intendesse scrivere invece fctk: una composizione di 3 scambi.
nonostante continui a pensare che tale scrittura, oltre che meno pratica per trovare l'ordine, sia anche poco ortodossa perché fa pensare ad un prodotto (e 1 non può andare contemporaneamente in 2 e in 4), ho però capito che il "calcolo" è esatto, nel senso che si ottiene la permutazione con quella successione di 3 scambi. sono quindi del parere anch'io che $a$ sia dispari.
non era mia intenzione creare tanta agitazione, però spero almeno che la discussione sia stata utile.
ciao.
Infatti è il prodotto del gruppo simmetrico che in sostanza è la composizione di funzioni (permutazioni). Occhio che scritto così con i cicli non disgiunti si perde la commutatività.
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