Periodo di un sottogruppo

[18Gigia18]

Ciao. Ragazzi ho un dubbio in questo esercizio: Determinare il sottogruppo H generato dalle permutazioni $ (1,2,3,4) e (2,4) $ . La prima permutazione ha periodo $ 4 $ mentre la seconda ha periodo $ 2 $. E' corretto quindi dire che H avrà periodo pari a $ 4 * 2 = 8 $ ?

[maurer]

Beh, innanzi tutto è scorretto parlare di periodo di un sottogruppo, nel senso che non è una dicitura che trovi in letteratura: di solito si usa "ordine". Poi la tua affermazione non è sempre corretta. In generale vale la seguente proposizione:

Proposizione. Siano [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] due sottogruppi finiti di un gruppo [tex]G[/tex]. Allora [tex]|HK| = \frac{|H|\cdot |K|}{|H\cap K|}[/tex].
Se inoltre [tex]H \le N_G(K)[/tex] (dove con [tex]N_G(K)[/tex] indico al solito il normalizzatore di [tex]K[/tex] in [tex]G[/tex]), allora [tex]HK = KH[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex] e coincide con [tex]\langle H, K \rangle[/tex].[/list:u:21ekt87b]

Nel tuo caso: [tex](2,4)(1,2,3,4)(2,4)^{-1} = (1,4,3,2) = (1,2,3,4)^{-1} \in \langle (1,2,3,4) \rangle[/tex]. Quindi [tex]\langle (2,4) \rangle \le N_{\mathfrak{S}_n}((1,2,3,4))[/tex] per ogni [tex]n \ge 4[/tex]. In particolare sono soddisfatte tutte le ipotesi della precedente proposizione e quindi
[tex]\displaystyle |\langle (1,2,3,4) , (2,4) \rangle| = \frac{|\langle(1,2,3,4)\rangle|\cdot |\langle(2,4)\rangle|}{\langle(1,2,3,4)\rangle \cap \langle(2,4)\rangle}=\frac{4\cdot 2}{1} = 8[/tex]
essendo ovviamente [tex]\langle(1,2,3,4)\rangle \cap \langle (2,4) \rangle = \text{id}[/tex].

Infine, ti faccio notare che se avessimo considerato [tex](1,2,3,4)[/tex] e [tex](1,3)(2,4)[/tex] la tesi non sarebbe stata più vera, anche se i periodi delle permutazioni in questione sono sempre gli stessi. Infatti [tex](1,3)(2,4) = (1,2,3,4)^2 \in \langle(1,2,3,4)\rangle[/tex] e quindi [tex]\langle(1,2,3,4),(1,3)(2,4)\rangle = \langle(1,2,3,4)\rangle[/tex], da cui otteniamo che la cardinalità del sottogruppo generato dalle due permutazioni è 4...

Spero che ti sia tutto chiaro, altrimenti chiedi pure ... ciao ciao!