Periodo di un elemento di un gruppo
Salve a tutt,
oggi parlando di gruppi ciclici si è parlato di "periodo di un elmento di un gruppo". Abbiamo visto che esistono due periodi:
Un periodo infinito che si ha quando il generatore $$ genera infiniti sottogruppi;
Per quel che riguarda il periodo infinito ho invece questa dicitura ovvero che $|a| = n$ con $n$ minimo intero $>0$ t.c $a^n = 1_a$
Ma quindi, il generatore $$ di un gruppo finito, quanti sottogruppi genera se $|a| =n$ ?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
oggi parlando di gruppi ciclici si è parlato di "periodo di un elmento di un gruppo". Abbiamo visto che esistono due periodi:
Un periodo infinito che si ha quando il generatore $$ genera infiniti sottogruppi;
Per quel che riguarda il periodo infinito ho invece questa dicitura ovvero che $|a| = n$ con $n$ minimo intero $>0$ t.c $a^n = 1_a$
Ma quindi, il generatore $$ di un gruppo finito, quanti sottogruppi genera se $|a| =n$ ?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
Un elemento di periodo $n$ genera un sottogruppo di ordine $n$.
Più in generale un sottoinsieme $S$ di un gruppo $G$ genera un ben determinato sottogruppo, che si indica con $$.
Più in generale un sottoinsieme $S$ di un gruppo $G$ genera un ben determinato sottogruppo, che si indica con $
Quindi un sottogruppo di periodo $n$ genera un solo sottogruppo, e per ordine $n$ che si intende?
Sapresti farmi un esempio numerico o è troppo complicato?
Sapresti farmi un esempio numerico o è troppo complicato?
Per "ordine" di un gruppo si intende la sua cardinalità.
Non è complicato, anzi è semplice: se hai un gruppo $G$, un elemento $g in G$ di periodo $n$ genera un sottogruppo di ordine (cardinalità) $n$. Per esempio se $G$ è il gruppo delle isometrie del piano e $r in G$ è la rotazione di 90 gradi allora $r^2$ è la rotazione di 180 gradi, $r^3$ è la rotazione di 270 gradi e $r^4$ è la rotazione di 360 gradi, cioè l'identità: $r^4=1$. In questo caso $|r|=4$. Quindi $ = {1,r,r^2,r^3}$.
Ripeto: un elemento di periodo $n$ genera un sottogruppo di ordine $n$.
Comunque se è la prima volta che vedi queste cose ti consiglio di non avere fretta di capirle, riflettici con calma.
Non è complicato, anzi è semplice: se hai un gruppo $G$, un elemento $g in G$ di periodo $n$ genera un sottogruppo di ordine (cardinalità) $n$. Per esempio se $G$ è il gruppo delle isometrie del piano e $r in G$ è la rotazione di 90 gradi allora $r^2$ è la rotazione di 180 gradi, $r^3$ è la rotazione di 270 gradi e $r^4$ è la rotazione di 360 gradi, cioè l'identità: $r^4=1$. In questo caso $|r|=4$. Quindi $
Ripeto: un elemento di periodo $n$ genera un sottogruppo di ordine $n$.
Comunque se è la prima volta che vedi queste cose ti consiglio di non avere fretta di capirle, riflettici con calma.
Sisi è la prima volta.
Quindi "per ordine" intendi comunque la cardinalità, ovvero il numero di elementi.
Un elemento di un gruppo" $$ con periodo $n$ genera un sottogruppo che avrà come cardinalità proprio $n$.
Ed ovviamente, parlando di gruppi ciclici sappiamo che questi elementi saranno tutte potenze di a.
Ho detto bene?
Purtroppo stiamo avendo dei ritmi un pò serrati in università, e arrivare alla prossima lezione con le idee un pò più chiare anche su cose che ha solo accennato può risparmiarmi un sacco di fatiche per seguire la lezione nuova.
Quindi "per ordine" intendi comunque la cardinalità, ovvero il numero di elementi.
Un elemento di un gruppo" $$ con periodo $n$ genera un sottogruppo che avrà come cardinalità proprio $n$.
Ed ovviamente, parlando di gruppi ciclici sappiamo che questi elementi saranno tutte potenze di a.
Ho detto bene?
Purtroppo stiamo avendo dei ritmi un pò serrati in università, e arrivare alla prossima lezione con le idee un pò più chiare anche su cose che ha solo accennato può risparmiarmi un sacco di fatiche per seguire la lezione nuova.
Hai detto bene, voglio solo specificare una cosa che non ho capito se ti è chiara: non tutti gli elementi di $$ generano $$. Per esempio se $a$ ha periodo $4$ allora $ = {1,a,a^2,a^3}$ e $ ={1,a^2}$. Osserva infatti che $a^2$ ha periodo $2$.
Oggi abbiamo difatti continuato la spiegazione riguardante come calcolare tutti i generatori di un gruppo ciclico (vedendo tutti gli elementi che hanno il periodo pari la cardinalità del gruppo) e abbiamo poi visto come, dall'elemento generatore, si generano tutti gli elementi di un gruppo.
Vi scrivo ciò che ho capito cosi potete eventualmente correggermi.
Sappiamo che si definisce periodo di un elemento $a$ il più piccolo intero $r$ strettamente positivo t.c $a^r = 1_g$
Quindi noi prendiamo ogni elemento del nostro gruppo, lo eleviamo ad $r$, con $1<=r<=n-1$ dove $n$ è invece la cardinalità del gruppo. Quando otteniamo l'elemento neutro $1_g$ possiamo dire che, quell'elemento è un generatore del nostro gruppo.
Tutti gli altri generatori saranno potenze del generatore trovato t.c la potenza $a^r$ abbia $1<=r<=n-1$ e $mcd(r,n)=1$ Ovvero gli esponenti delle potenze devono essere coprimi con la cardinalità del gruppo.
Infine per trovarmi il periodo di un elemento che non è generatore, me lo riscrivo come potenza di un generatore $|a^r|$ e dico che è uguale a $|a|/(mcd(r,|a|)$ che a sua volta è uguale a $n/(mcd(r,n)$ dove $n$ è ancora la cardinalità del gruppo.
Scusate se non ho definito bene ogni lettera che ho usato, spero che nel complesso si capisca.
A questo punto vi dico che il 99% degli esempi gli abbiamo fatti con gruppi che avevano come operazione la moltiplicazione, e difatti questa mi è abbastanza chiara, ora il dubbio mi sorge nei gruppi "addittivi" di cui è stato fatto un solo esempio.
Ovvero qui abbiamo il gruppo ciclico $(ZZ_9, +)$ che sappiamo generato da $\bar 1$ e $|ZZ_9| = 9$
Ora, tramite eulero-fermat sappiamo che ci sono $6$ generatori, e a questo punto, la cosa dove non sono sicuro, è quando dice che:
I generatori saranno tutti gli elementi del tipo $a* \bar1 = \bar a$ t.c $mcd(\bar a,9) = 1$
e poi dice che:
$mcd(\bar 2,9) = 1$ quindi $\bar 2$ è un generatore
$mcd(\bar 4,9) = 1$ quindi $\bar 4$ è un generatore
$mcd(\bar 5,9) = 1$ quindi $\bar 5$ è un generatore
$mcd(\bar 7,9) = 1$ quindi $\bar 7$ è un generatore
$mcd(\bar 8,9) = 1$ quindi $\bar 8$ è un generatore
Ipotizzo che dica questo perchè un generatore, in un gruppo ciclico a, genera un gruppo ciclico contenente tutti quelli elementi in forma $a^n$ con $n>= 0$
Ma nei gruppi con la moltiplicazione la potenza si calcolava effettivamente "come una potenza", nei gruppi additivi la potenza si calcola come $a$ moltiplicato $n$ volte. Giusto? per questo passa direttamente a dire che tutti i generatori sono direttamente quelli coprimi con $9$? perchè tanto li dovrebbe moltiplicare tutti per l'elemento neutro riottenendo direttamente $a$?
Ma l'elemento neutro nella moltiplicazione non dovrebbe essere identificato con $0_g$? allora perchè dice tutti quelli elementi del tipo $a* \bar1 = \bar a$ t.c $mcd(\bar a,9) = 1$?? cos'è che mi sfugge?
Vi scrivo ciò che ho capito cosi potete eventualmente correggermi.
Sappiamo che si definisce periodo di un elemento $a$ il più piccolo intero $r$ strettamente positivo t.c $a^r = 1_g$
Quindi noi prendiamo ogni elemento del nostro gruppo, lo eleviamo ad $r$, con $1<=r<=n-1$ dove $n$ è invece la cardinalità del gruppo. Quando otteniamo l'elemento neutro $1_g$ possiamo dire che, quell'elemento è un generatore del nostro gruppo.
Tutti gli altri generatori saranno potenze del generatore trovato t.c la potenza $a^r$ abbia $1<=r<=n-1$ e $mcd(r,n)=1$ Ovvero gli esponenti delle potenze devono essere coprimi con la cardinalità del gruppo.
Infine per trovarmi il periodo di un elemento che non è generatore, me lo riscrivo come potenza di un generatore $|a^r|$ e dico che è uguale a $|a|/(mcd(r,|a|)$ che a sua volta è uguale a $n/(mcd(r,n)$ dove $n$ è ancora la cardinalità del gruppo.
Scusate se non ho definito bene ogni lettera che ho usato, spero che nel complesso si capisca.
A questo punto vi dico che il 99% degli esempi gli abbiamo fatti con gruppi che avevano come operazione la moltiplicazione, e difatti questa mi è abbastanza chiara, ora il dubbio mi sorge nei gruppi "addittivi" di cui è stato fatto un solo esempio.
Ovvero qui abbiamo il gruppo ciclico $(ZZ_9, +)$ che sappiamo generato da $\bar 1$ e $|ZZ_9| = 9$
Ora, tramite eulero-fermat sappiamo che ci sono $6$ generatori, e a questo punto, la cosa dove non sono sicuro, è quando dice che:
I generatori saranno tutti gli elementi del tipo $a* \bar1 = \bar a$ t.c $mcd(\bar a,9) = 1$
e poi dice che:
$mcd(\bar 2,9) = 1$ quindi $\bar 2$ è un generatore
$mcd(\bar 4,9) = 1$ quindi $\bar 4$ è un generatore
$mcd(\bar 5,9) = 1$ quindi $\bar 5$ è un generatore
$mcd(\bar 7,9) = 1$ quindi $\bar 7$ è un generatore
$mcd(\bar 8,9) = 1$ quindi $\bar 8$ è un generatore
Ipotizzo che dica questo perchè un generatore, in un gruppo ciclico a, genera un gruppo ciclico contenente tutti quelli elementi in forma $a^n$ con $n>= 0$
Ma nei gruppi con la moltiplicazione la potenza si calcolava effettivamente "come una potenza", nei gruppi additivi la potenza si calcola come $a$ moltiplicato $n$ volte. Giusto? per questo passa direttamente a dire che tutti i generatori sono direttamente quelli coprimi con $9$? perchè tanto li dovrebbe moltiplicare tutti per l'elemento neutro riottenendo direttamente $a$?
Ma l'elemento neutro nella moltiplicazione non dovrebbe essere identificato con $0_g$? allora perchè dice tutti quelli elementi del tipo $a* \bar1 = \bar a$ t.c $mcd(\bar a,9) = 1$?? cos'è che mi sfugge?
Non capisco cosa non capisci.
Dato un gruppo ciclico $$ di ordine $n$, i generatori sono tutti e soli gli elementi della forma $g^a$ con $a$ coprimo con $n$. Se la notazione e' additiva, cioe' se hai $ZZ//nZZ$, allora puoi scegliere $1$ come generatore, e a questo punto i generatori risultano essere gli elementi della forma $1*a$ (cioe' $a$) con $a$ coprimo con $n$.
Dato un gruppo ciclico $
Riuppo questo topic poichè la mia domanda e strettamente legata a quanto detto sopra(che mi è tornato utile)
Ho $(ℤ13, ⋅ )$ (Z privato di 0) devo trovare i suoi generatori che so essere 4 in tutto (utilizzando la funzione di eulero). La mia domanda è: per trovare un generatore di questo gruppo devo necessariamente partire da un elemento qualsiasi del gruppo e clacolarne tutte le potenze? C'è un modo più immediato(se fosse Zmille sarebbe un problema calcolare tutte le potenze)?
Ho $(ℤ13, ⋅ )$ (Z privato di 0) devo trovare i suoi generatori che so essere 4 in tutto (utilizzando la funzione di eulero). La mia domanda è: per trovare un generatore di questo gruppo devo necessariamente partire da un elemento qualsiasi del gruppo e clacolarne tutte le potenze? C'è un modo più immediato(se fosse Zmille sarebbe un problema calcolare tutte le potenze)?
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