Perchè un ultrafiltro contiene solo elemento di una partizione finita?

[asabasa]

Dato un insieme $A$ finito un ultrafiltro $F$ su $A$ e una partizione $Pi$ finita di $A$,
allora uno (e uno solo) elemento di $Pi$ cade in $F$.

Perché?

Non mi serve una dimostrazione rigorosa

[asabasa]

Ho trovato aiuto altrove, riporto qui la dimostrazione suggerita.
Potrebbe sempre tornare utile a qualcuno.

Allora tanto per cominciare se fossero due gli elementi di $X,Y$ di $Pi$ contenuti F, avremmo che :
$X,Y in F$ $\rightarrow$ $X nn Y in F$ che è un assurdo perchè $X,Y in Pi$ e quindi disgiunti.

Facciamo vedere che questo unico elemento esiste:

Un ultrafiltro su un insieme finito si può vedere come una famiglia $F$ di sottoinsiemi di $A$ che contengono un fissato elemento $x$ di $A$, univocamente determinato da $F$.

Ossia $F={G sube A : x in A}$

Poiché $Pi$ ricopre di $A$, in quanto partizione, un elemento (e uno solo) di $Pi$ contiene $x$ e tale elemento appartiene a $F$.

[vedeverde]

puoi identificare l'ultrafiltro con una funzione a valori zero o uno finitamente additiva, a quel punto diventa ovvio

[vedeverde]

intendo funzione sull'insieme delle parti è, vale 1 se l'insieme è nell'ultrafiltro, zero altrimenti.

[asabasa]

"vedeverde":puoi identificare l'ultrafiltro con una funzione a valori zero o uno finitamente additiva, a quel punto diventa ovvio

"vedeverde":intendo funzione sull'insieme delle parti è, vale 1 se l'insieme è nell'ultrafiltro, zero altrimenti.

Il mio tentativo non ti è piaciuto? :