Perchè l'insieme delle matrici la cui traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale ?
Ciao a tutti, avevo una domanda che mi rullava in testa.
Si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale
Però, io non ho capito in che modo la traccia di una matrice si 'collega' allo spazio vettoriale ed il perchè se la traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale.
In piu la definizione di traccia come "invariante per similitudine" non mi è del tutto chiara, anche se è intuitiva.
Mi è chiaro che la traccia non dipende dalle coordinate, cioè dalla specifica base ma se..
a) un invariante è una funzione F:X -> Y che sia costante su ogni singola classe: il suo valore non dipende dal rappresentante scelto
b) la similitudine è trasformazione geometrica, contenuta nel piano o nello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze
Alcune domande connesse.
- Cosa si intende per 'rappresentante' ? Un'operatore ? Una matrice ?
- Si conserva anche l' identità ?
- Il fatto che sia un' invariante per similitudine vuol dire che la forma dell'oggetto si conserva come 'funzione' ?
La matrice quadrata è dunque, in relazione agli spazi vettoriali, un generatore di spazi vettoriali ?
Chiedo alcune delucidazioni perchè la mia ricerca è orientata anche al generatore di matrici, qualcosa del tipo
https://arxiv.org/pdf/1502.01494v1.pdf
in cui si spiega come generare la matrice da un sottoinsieme dello spettro di Walsh (analisi armonica)
Si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale
Però, io non ho capito in che modo la traccia di una matrice si 'collega' allo spazio vettoriale ed il perchè se la traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale.
In piu la definizione di traccia come "invariante per similitudine" non mi è del tutto chiara, anche se è intuitiva.
Mi è chiaro che la traccia non dipende dalle coordinate, cioè dalla specifica base ma se..
a) un invariante è una funzione F:X -> Y che sia costante su ogni singola classe: il suo valore non dipende dal rappresentante scelto
b) la similitudine è trasformazione geometrica, contenuta nel piano o nello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze
Alcune domande connesse.
- Cosa si intende per 'rappresentante' ? Un'operatore ? Una matrice ?
- Si conserva anche l' identità ?
- Il fatto che sia un' invariante per similitudine vuol dire che la forma dell'oggetto si conserva come 'funzione' ?
La matrice quadrata è dunque, in relazione agli spazi vettoriali, un generatore di spazi vettoriali ?
Chiedo alcune delucidazioni perchè la mia ricerca è orientata anche al generatore di matrici, qualcosa del tipo
https://arxiv.org/pdf/1502.01494v1.pdf
in cui si spiega come generare la matrice da un sottoinsieme dello spettro di Walsh (analisi armonica)
Risposte
Che l'insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ con traccia nulla sia uno spazio vettoriale è abbastanza ovvio, infatti la traccia della somma di due matrici è la somma delle due tracce, quindi se le due tracce sono $0$, lo sarà anche la loro somma; discorso analogo per la moltiplicazione per uno scalare.
Due matrici quadrate $A$ e $B$ di ordine $n$ si dicono simili se esiste una matrice invertibile $C$ tale che $A=C^{-1}BC$. Il fatto che la traccia sia un invariante per similitudine, significa che se due matrici sono simili, allora hanno la stessa traccia.
Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$, se consideri l'insieme $\mathcal{M}$ di tutte le matrici simili ad $A$, allora si dice che $A$ è un rappresentante di $\mathcal{M}$. Ovviamente $A$ non è l'unico rappresentante di $\mathcal{M}$, infatti ogni matrice appartenente a $\mathcal{M}$ può essere scelta come rappresentante.
Due matrici quadrate $A$ e $B$ di ordine $n$ si dicono simili se esiste una matrice invertibile $C$ tale che $A=C^{-1}BC$. Il fatto che la traccia sia un invariante per similitudine, significa che se due matrici sono simili, allora hanno la stessa traccia.
Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$, se consideri l'insieme $\mathcal{M}$ di tutte le matrici simili ad $A$, allora si dice che $A$ è un rappresentante di $\mathcal{M}$. Ovviamente $A$ non è l'unico rappresentante di $\mathcal{M}$, infatti ogni matrice appartenente a $\mathcal{M}$ può essere scelta come rappresentante.
Perdonami billy, ma qual'è la definizione di spazio vettoriale se parlo in termini di matrice ?
O meglio, qual'è il passaggio dalla classica definizione (un campo, un insieme i cui elementi sono detti vettori, due operazioni binarie) al matroide ? Questo passaggio mi sfugge, qual'è il teorema che permette questa reversibilità tra una definizione e l'altra ?
Tu mi hai descritto il procedimento, le poche cose che so è che una matrice ammette inversa se il suo determinante è diverso da zero .
Si trova la matrice dei cofattori , che fratto il determinante di A, dove con A chiamo la tua matrice iniziale , ottieni A^(-1)
O meglio, qual'è il passaggio dalla classica definizione (un campo, un insieme i cui elementi sono detti vettori, due operazioni binarie) al matroide ? Questo passaggio mi sfugge, qual'è il teorema che permette questa reversibilità tra una definizione e l'altra ?
Tu mi hai descritto il procedimento, le poche cose che so è che una matrice ammette inversa se il suo determinante è diverso da zero .
Si trova la matrice dei cofattori , che fratto il determinante di A, dove con A chiamo la tua matrice iniziale , ottieni A^(-1)
Dunque: partiamo dal fatto che l'insieme $M_n$ delle matrici quadrate di ordine $n$ è uno spazio vettoriale. Detto questo, tutti gli elementi di $M_n$ godono delle proprietà relative all'addizione e alla moltiplicazione per scalari. In generale, per dimostrare che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale, basta dimostrare che la somma di due elementi qualsiasi del sottoinsieme sta ancora nel sottoinsieme, e che dato un elemento qualsiasi $v$ del sottoinsieme e uno scalare qualsiasi $\lambda$, $\lambda v$ appartiene al sottoinsieme.
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