Perche' la moltiplicazione tra matrici si fa in quel modo ?
perche' la moltiplicazione tra matrici si fa in quel modo ?
la somma e sottrazione si fanno elemento per elemento, perchè la moltiplicazione ha quella forma complessa?
grazie
la somma e sottrazione si fanno elemento per elemento, perchè la moltiplicazione ha quella forma complessa?
grazie
Risposte
innanzitutto quando si definisce un'operazione, la si può definire come la si vuole. E poi con la moltiplicazione righe per colonne $(M_(n,m)(K),+,*)$ è uno spazio vettoriale, con una "moltiplicazione" diversa non lo sarebbe!
"mistake89":
E poi con la moltiplicazione righe per colonne $(M_(n,m)(K),+,*)$ è uno spazio vettoriale, con una "moltiplicazione" diversa non lo sarebbe!
?
"mistake89":
con la moltiplicazione righe per colonne $(M_(n,m)(K),+,*)$ è uno spazio vettoriale, con una "moltiplicazione" diversa non lo sarebbe!
a dire la verita' pensavo pure io che fosse per una questione di spazi vettoriali ma non capisco perche' non lo sarebbe se fosse fatta in modo diverso la moltiplicazione tra mat?
"mistake89":No, attenzione. Questa affermazione è falsa. Il prodotto righe per colonne non ha nulla a che vedere con la struttura di spazio vettoriale delle matrici.
con la moltiplicazione righe per colonne $(M_(n,m)(K),+,*)$ è uno spazio vettoriale, con una "moltiplicazione" diversa non lo sarebbe!
Il motivo per cui il prodotto righe per colonne si fa così sta nel fatto che permette di rappresentare con matrici le applicazioni lineari. Puoi vedere Sergio per dettagli.
Sui miei appunti presi a lezione c'era scritto che era per garantire la struttura di spazio vettoriale. Chiedo scusa se ho detto una cosa errata, ma ho ricontrollato lì era scritto così!
nel link che hai passato sergio scrive:
questo vuol dire che la moltiplicazione riga * colonna fa si che queste 2 proprieta' siano conservate? se provassi a fare la moltiplicazione posto * posto 8come si fa con la somma) una o piu' proprieta' di quelle verrebbe a mancare ?
La linearità non è una cosa semplice, non perché sia complicata, ma perché un'applicazione, per essere lineare, deve rispettare due proprietà:
a) additività: un'applicazione si dice additiva se f(x+y)=f(x)+f(y).
b) omogeneità: un'applicazione si dice omogenea se f(kx)=kf(x).
questo vuol dire che la moltiplicazione riga * colonna fa si che queste 2 proprieta' siano conservate? se provassi a fare la moltiplicazione posto * posto 8come si fa con la somma) una o piu' proprieta' di quelle verrebbe a mancare ?
Non è questo il punto. Il fatto è che con la moltiplicazione riga per colonna puoi rappresentare le applicazioni lineari. Nel senso che se hai una applicazione $T:V \to W$ lineare, fissata una base ${b_1,...,b_n}$ di $V$ ed una base ${b_1',...b_n'}$ di $W$ esiste un'unica matrice $M$ tale che:
per ogni $\v=x_1b_1+...+x_nb_n\inV$, detto $y_1b_1'+...y_mb_m'=T(v)$ risulta che $((y_1), (vdots), (y_m))=M((x_1), (vdots), (x_n))$.
ovvero $M$ rappresenta $T$ rispetto alle basi date. Il prodotto righe per colonne è fatto apposta per avere questa proposizione.
per ogni $\v=x_1b_1+...+x_nb_n\inV$, detto $y_1b_1'+...y_mb_m'=T(v)$ risulta che $((y_1), (vdots), (y_m))=M((x_1), (vdots), (x_n))$.
ovvero $M$ rappresenta $T$ rispetto alle basi date. Il prodotto righe per colonne è fatto apposta per avere questa proposizione.
quindi alla fine è solo per una questione estetica?
Che intendi per questione estetica?
Come hanno già detto una matrice rappresenta un'applicazione lineare, quindi il prodotto è stato scelto affinchè il prodotto tra matrici rappresentasse la composizione di applicazioni.
Come hanno già detto una matrice rappresenta un'applicazione lineare, quindi il prodotto è stato scelto affinchè il prodotto tra matrici rappresentasse la composizione di applicazioni.
un applicazione lineare può essere descritta in mille modi la matrice è solo un modo più compatto...ed esteticamente piacevole.
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