Perché la categoria degli elementi definisce un funtore \( \mathsf{Set}^{\mathsf C}\to \mathsf{CAT}/\mathsf C \)?
\( \newcommand{\cat}[1]{\mathsf{#1}} \)Un esercizio (il 2.4.vii che c'è in Category Theory in Context di E. Riehl) chiede di provare che, se \( \cat C \) è una categoria localmente piccola, c'è un funtore
\[
\int({-})\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT}/{\cat C}
\] dalla categoria \( \cat{Set}^{\cat C} \) dei funtori \( \cat C\to \cat{Set} \) verso una categoria slice \( \cat{CAT}/{\cat C} \) della categoria \( \cat{CAT} \) delle categorie localmente piccole.
Ora, io so dare un funtore (cambio le notazioni sennò conflittano con quelle del libro) \( \mathrm{El}_{\cat C}\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT} \) mappando un funtore \( F\colon \cat C\to \cat{Set} \) sulla sua categoria degli elementi \( \mathrm{El}_{\cat C}(F) \), e una naturale \( \alpha\colon F\Rightarrow G \) nel funtore \( \mathrm{El}_{\cat C}(\alpha)\colon \mathrm{El}_{\cat C}(F)\to \mathrm{El}_{\cat C}(G) \) ovvio (quello che mappa l'elemento \( (X,x) \) di \( \mathrm{El}_{\cat C}(F) \) nell'elemento \( (X,\alpha_X(x)) \) di \( \mathrm{El}_{\cat C}(G) \)).
A questo punto, penso che cosa più naturale da fare per fare quello che vuole la Riehl sia questa (c'è post su MSE dove una persona fa esattamente la stessa cosa): detto per ogni \( F\colon \cat C\to \cat{Set} \)
\[
\Pi_F\colon \mathrm{El}_{\cat C}(F)\to \cat C
\] il funtore dimenticante (il quale mappa l'oggetto \( (X,x) \) di \( \mathrm{El}_{\cat C}(F) \) nell'oggetto \( X \) di \( \cat C \)), definisco \( \int({-})\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT}/{\cat C} \) mappando
\[
\begin{CD}
F @. {\mapsto} @. \int F := \Pi_F\\
@V{\alpha}VV @. @VV{\mathrm{El}_{\cat C}(\alpha)}V\\
G @. {\mapsto} @. \int G := \Pi_G
\end{CD}
\] per ogni funtori \( F,G\colon \cat C\to \cat{Set} \) e per ogni naturale \( \alpha\colon F\Rightarrow G \). Si verifica (o almeno a me viene) che \( \mathrm{El}_{\cat C}(\alpha) \) è un morfismo di \( \cat{CAT}/{\cat C} \) tra \( \Pi_F \) e \( \Pi_G \) e che 'sta roba è un funtore.
Domanda: che senso ha questa costruzione? Secondo me sul libro c'è un typo e il codominio di \( \int({-}) \) è semplicemente \( \cat{CAT} \). Ho guardato nel libro e alla fine si vuole usare \( \int({-}) \) (o più probabilmente, appunto, \( \mathrm{El}_{\cat C} \)) in una dimostrazione (la proposizione è la 2.4.8 al link che c'è sopra) per dire che funtori naturalmente isomorfi hanno categorie degli elementi isomorfe, e per questo basta \( \mathrm{El}_{\cat C} \) no?
\[
\int({-})\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT}/{\cat C}
\] dalla categoria \( \cat{Set}^{\cat C} \) dei funtori \( \cat C\to \cat{Set} \) verso una categoria slice \( \cat{CAT}/{\cat C} \) della categoria \( \cat{CAT} \) delle categorie localmente piccole.
Ora, io so dare un funtore (cambio le notazioni sennò conflittano con quelle del libro) \( \mathrm{El}_{\cat C}\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT} \) mappando un funtore \( F\colon \cat C\to \cat{Set} \) sulla sua categoria degli elementi \( \mathrm{El}_{\cat C}(F) \), e una naturale \( \alpha\colon F\Rightarrow G \) nel funtore \( \mathrm{El}_{\cat C}(\alpha)\colon \mathrm{El}_{\cat C}(F)\to \mathrm{El}_{\cat C}(G) \) ovvio (quello che mappa l'elemento \( (X,x) \) di \( \mathrm{El}_{\cat C}(F) \) nell'elemento \( (X,\alpha_X(x)) \) di \( \mathrm{El}_{\cat C}(G) \)).
A questo punto, penso che cosa più naturale da fare per fare quello che vuole la Riehl sia questa (c'è post su MSE dove una persona fa esattamente la stessa cosa): detto per ogni \( F\colon \cat C\to \cat{Set} \)
\[
\Pi_F\colon \mathrm{El}_{\cat C}(F)\to \cat C
\] il funtore dimenticante (il quale mappa l'oggetto \( (X,x) \) di \( \mathrm{El}_{\cat C}(F) \) nell'oggetto \( X \) di \( \cat C \)), definisco \( \int({-})\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT}/{\cat C} \) mappando
\[
\begin{CD}
F @. {\mapsto} @. \int F := \Pi_F\\
@V{\alpha}VV @. @VV{\mathrm{El}_{\cat C}(\alpha)}V\\
G @. {\mapsto} @. \int G := \Pi_G
\end{CD}
\] per ogni funtori \( F,G\colon \cat C\to \cat{Set} \) e per ogni naturale \( \alpha\colon F\Rightarrow G \). Si verifica (o almeno a me viene) che \( \mathrm{El}_{\cat C}(\alpha) \) è un morfismo di \( \cat{CAT}/{\cat C} \) tra \( \Pi_F \) e \( \Pi_G \) e che 'sta roba è un funtore.
Domanda: che senso ha questa costruzione? Secondo me sul libro c'è un typo e il codominio di \( \int({-}) \) è semplicemente \( \cat{CAT} \). Ho guardato nel libro e alla fine si vuole usare \( \int({-}) \) (o più probabilmente, appunto, \( \mathrm{El}_{\cat C} \)) in una dimostrazione (la proposizione è la 2.4.8 al link che c'è sopra) per dire che funtori naturalmente isomorfi hanno categorie degli elementi isomorfe, e per questo basta \( \mathrm{El}_{\cat C} \) no?
Risposte
Semplicemente, il funtore che induci tra le categorie degli elementi è un morfismo di opfibrazioni, non solo un funtore. Rispetta le fibre. Quindi sì, è un funtore, ma rialza lungo il dimenticante dalla slice.
Poi c'è da aggiungere (ma questo è vero che non ti serve) che l'equivalenza è una equivalenza di 2-categorie, ossia c'è anche modo di definirla sulle 2-celle (prova a pensare qual è una condizione necessaria perché una trasformazione naturale su morfismi sopra C sia "ammissibile")
Poi c'è da aggiungere (ma questo è vero che non ti serve) che l'equivalenza è una equivalenza di 2-categorie, ossia c'è anche modo di definirla sulle 2-celle (prova a pensare qual è una condizione necessaria perché una trasformazione naturale su morfismi sopra C sia "ammissibile")
Forse però quello che ti manca è del contesto per capire la costruzione di Grothendieck (così si chiama la mappa inversa che a un particolare tipo di funtore sopra \(\cal C\) associa un funtore \({\cal C} \to {\sf Set}\)... siccome una spiegazione del genere posso prenderla da troppi angoli diversi (logica, algebra, geometria), serve che tu mi dica cosa sai.
(La prossima volta, fai la domanda sullo zulip di itaca, dai
)
(La prossima volta, fai la domanda sullo zulip di itaca, dai
)
Sisi più che altro era una curiosità. Comunque ho visto che se ne parla sull'Elephant, e che c'è la pagina su nLab sulla costruzione di Grothendieck, ma non ho ancora letto nulla sulle 2-categorie quindi comunque adesso non mi serve tranquillo.
Zulip di itacaL'avevo visto ma non pensavo ci fossero anche studenti. Dopo in caso me lo faccio.
C'è qualcosa di cui l'elefante non parla?
In ogni caso è prassi abbastanza comune fare confusione con la notazione, se vuoi delle introduzioni relativamente elementari c'è questo https://arxiv.org/abs/1806.06129 e le note di Streicher https://arxiv.org/abs/1801.02927
Buona lettura!
In ogni caso è prassi abbastanza comune fare confusione con la notazione, se vuoi delle introduzioni relativamente elementari c'è questo https://arxiv.org/abs/1806.06129 e le note di Streicher https://arxiv.org/abs/1801.02927
Buona lettura!
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