Perchè il prodotto di 2 vett genera un 3°vet perpendicolare?

[BoG3]

ciao a tutti,

non so se la mia domanda sia stupida ma boh, non me lo spiego:
perche' moltiplicando 2 vettori $v, w$ giacenti su un piano $p$ ottengo un vettore $b$ che è perpendicolare al piano $p$ ?

grazie.

[killing_buddha]

Dovresti prima di tutto notare che l'operazione di "prodotto" senza null'altro specificare, tra due vettori, non ha molto senso. L'operazione a cui tu ti riferisci e' il prodotto vettoriale di due vettori, una mappa [tex]\mathbb R^3\times \mathbb R^3\to \mathbb R^3[/tex], dotato del consueto prodotto scalare [tex]\mathbb R^3\times \mathbb R^3\to \mathbb R[/tex], definito grazie alla base canonica come sommatoria dei prodotti delle coordinate omonime di [tex]v = \sum v_i \mathrm{e}_i, w=\sum w_i \mathrm{e}_i[/tex].

Il prodotto vettoriale di [tex]v = \sum v_i \mathrm{e}_i, w=\sum w_i \mathrm{e}_i[/tex] e', per definizione, il vettore di [tex]\mathbb R^3[/tex] che ha per coordinate i minori segnati della matrice che si ottiene incolonnando (o mettendo in riga) le coordinate dei vettori espressi nella base canonica. La regola mnemonica per calcolare il prodotto vettore e'
[tex]v\wedge w = \det
\begin{pmatrix}
\mathrm{e}_1 & \mathrm{e}_2 & \mathrm{e}_ 3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
w_1 & w_2 & w _3
\end{pmatrix}[/tex]
Puoi divertirti a notare che la definizione e' data mediante la base canonica, ma che in realta' e' sufficiente che la base [tex]\{\mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2,\mathrm{e}_3\}[/tex] sia ortonormale. Cosa succede poi se [tex]v=\alpha w[/tex] (e quale e' una sua interpretazione geometrica)? Cosa succede se [tex]v\cdot w=0[/tex]? Come si puo' generalizzare la definizione ad una applicazione [tex]\text{cross}:\mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R : (v_1,\dots,v_k)\mapsto v_1\wedge\dots \wedge v_k[/tex]? A quanto e' uguale [tex]k[/tex]?