Per quali primi dispari -1 è un residuo biquadratico?

[bruco_vdr]

Buonasera!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:

Sia \(\displaystyle p \) un primo dispari. Dimostrare che se esiste un intero \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle p|(x^4+1) \), allora \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \).

Per adesso ho ragionato così:
anzitutto ho osservato che \(\displaystyle x^4+1 \) è riducibile per ogni primo \(\displaystyle p \) dispari.
Infatti:

[*:303f0ig6]se \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \) oppure \(\displaystyle p \equiv 7 (mod8) \), allora 2 è un residuo quadratico modulo p. Pertanto \(\displaystyle x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1+qx)(x^2+1-qx) \), dove \(\displaystyle q^2 \equiv 2 (modp) \);
[/*:m:303f0ig6]
[*:303f0ig6]se \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \) oppure \(\displaystyle p \equiv 3 (mod8) \), allora -2 è un residuo quadratico modulo p. Pertanto \(\displaystyle x^4+1=(x^2-1)^2+2x^2=(x^2-1+rx)(x^2-1-rx) \), dove \(\displaystyle r^2 \equiv -2 (modp) \);
[/*:m:303f0ig6]
[*:303f0ig6]se \(\displaystyle p \equiv 5 (mod8) \), allora in particolare \(\displaystyle p \equiv 1 (mod4) \) e pertanto -1 è un residuo quadratico modulo p. Pertanto \(\displaystyle x^4+1=(x^2+s)(x^2-s \), dove \(\displaystyle s^2 \equiv -1 (modp) \);[/*:m:303f0ig6][/list:u:303f0ig6]

Si vede allora facilmente (usando il fatto che \(\displaystyle ax^2+bx+c \equiv 0 (modp) \) è equivalente a risolvere \(\displaystyle y^2 \equiv b^2-4ac (modp) \) e poi \(\displaystyle 2x \equiv y-b (modp) \) ) che nei primi due casi ho soluzione se e soltanto se, rispettivamente, -2 o 2 è un residuo quadratico modulo p, cioè se \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \).

Quello che non riesco a fare per concludere è escludere il terzo ed ultimo caso.

Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille!

[Stickelberger]

Se $p$ divide $x^4+1$, allora $x^4\equiv -1$ modulo $p$.
Questo implica che $x$, visto come elemento del gruppo $ZZ_p^{\times}$, ha
ordine $8$. Il teorema di Lagrange implica che $8$ divide $\#ZZ_p^{\times}$
e quindi $p\equiv 1$ mod $8$.

[bruco_vdr]

"Stickelberger":Se $p$ divide $x^4+1$, allora $x^4\equiv -1$ modulo $p$.
Questo implica che $x$, visto come elemento del gruppo $ZZ_p^{\times}$, ha
ordine $8$. Il teorema di Lagrange implica che $8$ divide $\#ZZ_p^{\times}$
e quindi $p\equiv 1$ mod $8$.

Grazie della risposta. In effetti così è immediato.

Tuttavia, volendo risolvere il problema utilizzando la strada che avevo iniziato, come pensate si possa concludere?

[bruco_vdr]

"bruco_vdr":Buonasera!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:

Sia \( \displaystyle p \) un primo dispari. Dimostrare che se esiste un intero \( \displaystyle x \) tale che \( \displaystyle p|(x^4+1) \), allora \( \displaystyle p \equiv 1 (mod8) \).

Per adesso ho ragionato così:
anzitutto ho osservato che \( \displaystyle x^4+1 \) è riducibile per ogni primo \( \displaystyle p \) dispari.
Infatti:

[*:29nsir3v]se \( \displaystyle p \equiv 1 (mod8) \) oppure \( \displaystyle p \equiv 7 (mod8) \), allora 2 è un residuo quadratico modulo p. Pertanto \( \displaystyle x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1+qx)(x^2+1-qx) \), dove \( \displaystyle q^2 \equiv 2 (modp) \);
[/*:m:29nsir3v]
[*:29nsir3v]se \( \displaystyle p \equiv 1 (mod8) \) oppure \( \displaystyle p \equiv 3 (mod8) \), allora -2 è un residuo quadratico modulo p. Pertanto \( \displaystyle x^4+1=(x^2-1)^2+2x^2=(x^2-1+rx)(x^2-1-rx) \), dove \( \displaystyle r^2 \equiv -2 (modp) \);
[/*:m:29nsir3v]
[*:29nsir3v]se \( \displaystyle p \equiv 5 (mod8) \), allora in particolare \( \displaystyle p \equiv 1 (mod4) \) e pertanto -1 è un residuo quadratico modulo p. Pertanto \( \displaystyle x^4+1=(x^2+s)(x^2-s \), dove \( \displaystyle s^2 \equiv -1 (modp) \);[/*:m:29nsir3v][/list:u:29nsir3v]

Si vede allora facilmente (usando il fatto che \( \displaystyle ax^2+bx+c \equiv 0 (modp) \) è equivalente a risolvere \( \displaystyle y^2 \equiv b^2-4ac (modp) \) e poi \( \displaystyle 2x \equiv y-b (modp) \) ) che nei primi due casi ho soluzione se e soltanto se, rispettivamente, -2 o 2 è un residuo quadratico modulo p, cioè se \( \displaystyle p \equiv 1 (mod8) \).

Quello che non riesco a fare per concludere è escludere il terzo ed ultimo caso.

Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille!

Credo di aver risolto. Poniamoci nell'ultimo caso:
\( \displaystyle x^4+1=(x^2+s)(x^2-s) \), dove \( \displaystyle s^2 \equiv -1 (modp) \).
Abbiamo che \(\displaystyle x^2 \equiv s (modp) \Leftrightarrow (s|p)=1 \equiv s^{\frac{(p-1)}{2}} (modp)\) dove con \(\displaystyle (x|p) \) indico il simbolo di Legendre di \(\displaystyle x \) e la congruenza è data dal criterio di Eulero.
Ma allora abbiamo che: \(\displaystyle s^4=(s^2)^2 \equiv (-1)^2 =1 \equiv s^{\frac{(p-1)}{2}} \). D'altra parte è facile vedere che \(\displaystyle ord(s)=4 \), dunque dalla congruenza precedente segue \(\displaystyle \frac{(p-1)}{2} \equiv 0 (mod4) \) e dunque \(\displaystyle p \equiv 1 (mod8) \).