Per ogni a,b interi, se b è un divisore di a², allora è anche un divisore di a.
Ciao,
sto cercando di dimostrare l'irrazionalità della radice di 3.
Sono rimasto bloccato in un passaggio: dimostrare che se 3 è un divisore di a², allora è anche un divisore di a.
Nel titolo ho generalizzato, perchè vorrei poi essere in grado di dimostrare con lo stesso metodo l'irrazionalità della radice di altri interi.
Potreste scrivere una dimostrazione, anche in lingua italiana, oppure darmi un suggerimento?
Grazie.
sto cercando di dimostrare l'irrazionalità della radice di 3.
Sono rimasto bloccato in un passaggio: dimostrare che se 3 è un divisore di a², allora è anche un divisore di a.
Nel titolo ho generalizzato, perchè vorrei poi essere in grado di dimostrare con lo stesso metodo l'irrazionalità della radice di altri interi.
Potreste scrivere una dimostrazione, anche in lingua italiana, oppure darmi un suggerimento?
Grazie.
Risposte
Detta così è falsa: \(4 \mid 2^2\) ma \(4 \not \mid 2\).
Si ha invece che se \(p\) è un numero primo e \(p \mid ab\) allora \(p \mid a \vee p \mid b\). In particolare \(p \mid a^2 \Rightarrow p \mid a \vee p \mid a \Rightarrow p \mid a\).
Si ha invece che se \(p\) è un numero primo e \(p \mid ab\) allora \(p \mid a \vee p \mid b\). In particolare \(p \mid a^2 \Rightarrow p \mid a \vee p \mid a \Rightarrow p \mid a\).
Grazie hyoukarou, ho capito. Nulla da aggiungere!
Giulio.
Giulio.
Tanto per divulgare un pò di matematica, vi posto una dimostrazione alternativa dell'irrazionalità di $\sqrt(3)$ che usa un metodo dimostrativo ideato da Fermat che lui chiamava della "discesa infinita", una sorta di dimostrazione per induzione al contrario.
Assumiamo $\sqrt(3)=\frac{a_0}{b_0}$, ove $a_0$ e $b_0$ sono interi positivi e $a_0>b_0$. Poiché
$$\frac{1}{\sqrt(3)-1}=\frac{\sqrt(3)+1}{2}$$
Sostituendo la $\sqrt(3)$ che compare per prima con il suo equivalente $\frac{a_0}{b_0}$, otteniamo
$$\sqrt(3)=\frac{3b_0-a_0}{a_0-b_0}$$
Tenuto conto della disuguaglianza $\frac{3}{2}<\frac{a_0}{b_0}<2$, è chiaro che $3b_0-a_0$ e $a_0-b_0$ sono interi positivi, $a_1$
e $b_1$, ciascuno minore di $a_0$ e $b_0$ rispettivamente, e tali che $\sqrt(3)=\frac{a_1}{b_1}$. Questo ragionamento ripetuto indefinitamente, portando a una discesa infinita in cui $a_n$ e $b_n$ sono interi sempre più piccoli, tali che $\sqrt(3)=\frac{a_n}{b_n}$. Ciò implica la errata conclusione che non esiste nessun intero positivo più piccolo di qualsiasi altro. Pertanto la premessa che $\sqrt(3)$ sia razionale deve essere falsa.
Assumiamo $\sqrt(3)=\frac{a_0}{b_0}$, ove $a_0$ e $b_0$ sono interi positivi e $a_0>b_0$. Poiché
$$\frac{1}{\sqrt(3)-1}=\frac{\sqrt(3)+1}{2}$$
Sostituendo la $\sqrt(3)$ che compare per prima con il suo equivalente $\frac{a_0}{b_0}$, otteniamo
$$\sqrt(3)=\frac{3b_0-a_0}{a_0-b_0}$$
Tenuto conto della disuguaglianza $\frac{3}{2}<\frac{a_0}{b_0}<2$, è chiaro che $3b_0-a_0$ e $a_0-b_0$ sono interi positivi, $a_1$
e $b_1$, ciascuno minore di $a_0$ e $b_0$ rispettivamente, e tali che $\sqrt(3)=\frac{a_1}{b_1}$. Questo ragionamento ripetuto indefinitamente, portando a una discesa infinita in cui $a_n$ e $b_n$ sono interi sempre più piccoli, tali che $\sqrt(3)=\frac{a_n}{b_n}$. Ciò implica la errata conclusione che non esiste nessun intero positivo più piccolo di qualsiasi altro. Pertanto la premessa che $\sqrt(3)$ sia razionale deve essere falsa.
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