Per chi inizia algebra

[fu^2]

un esercizio carino semplice ma molto interessante:

Nella definizione di anello (*), si richiede che (A,+) sia commutativo. Dimostrare che in realtà la commutatività di (A,+) segue dagli altri assiomi di anello.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*
(Sia A un insieme non vuoto su cui sono definite due operazioni binarie + e ·. Si dice che (A,+, ·) è un anello se:
(i) (A, +) è un gruppo abeliano.
(ii) (A, ·) è un monoide.
(iii) per ogni a, b, c in A si ha (proprietà distributive):
a · (b + c) = ab + ac
(a + b) · c = ac + bc)

[raff5184]

ma non è semplicemente la proprietà i?

[fu^2]

infatti devi mostrare che la prorpietà (i) può essere ommessa

[raff5184]

"fu^2":

infatti devi mostrare che la prorpietà (i) può essere ommessa

aaaahhhhhhhhhhh non avevo capito che si doveva dimostrare

non ho mai studiato algebra, quindi ne ho solo qualche nozione ma mi affascina molto e questa dimostrazione mi ha preso. Ho provato a ragionarci, però mi blocco. Non ditemi la soluzione ma solo qualche input

Vediamo se uno dei miei ragionamenti è completamente sballato

sfruttando il fatto che $(A,*)$ è un monoide e la iii dovrei riuscire a provare che ogni elemento in A ammette inverso. Così troverei che $(A,*)$ è un gruppo. Il problema è che a noi serve provare che $(A,$+$)$ è un gruppo.. E qui non ho molta fantasia per ora. Fatto questo, sempre sfruttando la iii, dovrei riuscire a dimostrare che il gruppo è abeliano.

ho abbastanza fantasia per lasciare l'algebra e iniziare a scrivere romanzi?

[alberto.cena]

Ci ho pensato oggi per ingannare la noia mentre facevo il guardiano durante una seconda prova di Economia Aziendale

Per prima cosa osserviamo che moltiplicando un elemento dell'anello per l'opposto dell'unità si ottiene il suo opposto:
$\forall a \in A, \quad (-1) \cdot a = -a$.

Dobbiamo dimostrare che
$\forall a,b\in A \quad a+b=b+a$
Consideriamo l'opposto di $a+b$ ed applichiamo l'osservazione iniziale e la proprietà distributiva
$-(a+b) = (-1)\cdot (a+b) = -a-b$
Utilizzando la proprietà associativa di $(A,+)$ si verifica che
$(b+a)+(-a-b)=b+(a-a)-b=b+0-b=0$
cioè $(b+a)$ è l'opposto di $-(a+b)$ ma, per l'unicità dell'opposto:
$b+a=a+b$

[fu^2]

@raff5184

no che $(A,*)$ è un gruppo è errato, essendo che non è necessario che nella moltiplicazione ci sia l'inverso, quello che devi provare con la due e la tre è che il gruppo additivo è commutativo, cioè $a+b=b+a$ che A sia un gruppo additivo ce l'hai come ipotesi, devi vedere che è abeliano usando la ii e la iii.

@5InGold ->la tua dimostrazione è uguale alla mia, solo che la conclusione l'ho trovata partendo a considerare l'espressione

(a+b)(a+b)+(a+b)(b-a) e mostrando che è uguale a zero da cui ricavo la tesi con un altro passaggio...

son contento che questo quesito mostri interesse, chi ha dimostrazioni le metta

[raff5184]

grazie, io credevo che dovevo dimostrare entrambe le cose. Appena ho un pò di tempo mi ci rimetto su...

[vict85]

"5InGold":Ci ho pensato oggi per ingannare la noia mentre facevo il guardiano durante una seconda prova di Economia Aziendale

Per prima cosa osserviamo che moltiplicando un elemento dell'anello per l'opposto dell'unità si ottiene il suo opposto:
$\forall a \in A, \quad (-1) \cdot a = -a$.

Dobbiamo dimostrare che
$\forall a,b\in A \quad a+b=b+a$
Consideriamo l'opposto di $a+b$ ed applichiamo l'osservazione iniziale e la proprietà distributiva
$-(a+b) = (-1)\cdot (a+b) = -a-b$
Utilizzando la proprietà associativa di $(A,+)$ si verifica che
$(b+a)+(-a-b)=b+(a-a)-b=b+0-b=0$
cioè $(b+a)$ è l'opposto di $-(a+b)$ ma, per l'unicità dell'opposto:
$b+a=a+b$

Complimenti per la dimostrazione. Leggendola mi sono reso conto che si poteva dimostrare con meno calcoli (in realtà è identica alla tua ma la mia usa una proprietà elementare dei gruppi).

Parto al contrario di te per comodità...
$a+b = (-1)\cdot (-a-b) = -(-a-b)$
$b+a = -(-a-b)$ (perché in ogni gruppo $(ab)^(-1) = b^(-1)a^(-1)$)
$a+b = b+a$ (per l'unicità dell'inverso o semplicemente per la transitatività dell'uguale)

[vict85]

"fu^2":@raff5184
@5InGold ->la tua dimostrazione è uguale alla mia, solo che la conclusione l'ho trovata partendo a considerare l'espressione

(a+b)(a+b)+(a+b)(b-a) e mostrando che è uguale a zero da cui ricavo la tesi con un altro passaggio...

son contento che questo quesito mostri interesse, chi ha dimostrazioni le metta

Probabilmente hai scritto male l'espressione... Utilizzando la commutatività...
$(a+b)(a+b)+(a+b)(b-a) = (a+b)a + (a+b)b + (a+b)b -(a+b)a = 2(a+b)b$

[fu^2]

ho fatto casino con i segni, è vero, i due passaggi che ho usato sono $(a+b)(a+b)-(a+b)(b+a)$ utilizzando il fatto che a · (b + c) = ab + ac, l'espressione la posso riscrivere come la posso scrivere come $(a+b)((a+b)-(b+a))$ così mi son riportato al caso di 5InGold