Passaggio Sernesi su permutazioni
Ciao, amici! Vorrei chiedere se la mia interpretazione di un passo su alcune permutazioni del Sernesi, Geometria I, è corretta.
Nella dimostrazione della validità dello sviluppo per righe del determinante (p. 82 dell'ed. del 2000 Bollati Boringhieri) l'autore considera i termini della sommatoria \(\sum_{p\in\sigma_n}\epsilon(p)a_{1p(1)}...a_{np(n)}=\det(A)\) in cui, per un $j$ fissato, compare $a_{1j}$, che sono della forma \(\epsilon(p)a_{1j}a_{2p(2)}...a_{np(n)}\) dove $p\in\sigma_n$ è la permutazione tale che $p(1)=j$. Il testo definisce quindi la permutazione corrispondente a $p$ (in che senso? la mia interpretazione segue sotto) $q\in\sigma_{n-1}$ definita per $k=1,...,n-1$ da
\(q(k) = \begin{cases} p(k+1)&\text{se }p(k+1)j\end{cases}\)
Direi che il determinante di $A$ possa essere visto come la sommatoria del prodotto per il segno della permutazione dei coefficienti sulla diagonale di tutte le matrici ottenute permutando le colonne (o le righe) di $A$. Analogamente -perdonate la rozzezza del linguaggio e del metodo che ho usato per fissare le idee- direi che il termine \(\epsilon(p)a_{1j}a_{2p(2)}...a_{np(n)}\) è il prodotto per il segno della permutazione dei termini sulla diagonale della matrice che si ottiene "spostando", con $j-1$ trasposizioni tra colonne contigue, la $j$-esima colonna in prima posizione ed operando poi una permutazione sulle restanti $n-1$ colonne (che dopo le $j-1$ trasposizioni si trovano a destra di quella che era la $j$-esima colonna ora in prima posizione) che, "rinominando i posti delle colonne $2,...,n$ a destra della prima" come $1,...,n-1$ e "rinominando i vettori colonna" $j+1$-esimo,...,$n$-esimo come $j$-esimo,...,$n-1$-esimo, è proprio la permutazione che "sposta" il $q(k)$-esimo vettore colonna nella $k$-esima posizione (come detto, $k$-esimo e $q(k)$-esimo si intendono secondo la rinominazione dei vettori colonna e dei posti delle colonne). Sto sragionando?
Alla luce di questa interpretazione non mi sono stupito di trovare scritto subito dopo che $(-1)^{j-1}\epsilon(q)=\epsilon(p)$.
Ciò che mi è più difficile da capire è che quest'ultima uguaglianza è spiegata con il fatto che
Direi che la permutazione $r:{1,...,n}\to {1,...,n}$ è tale che, visto che 1 è già l'immagine di $r(1)$, l'immagine di $r(k)$ con $2\leq k \leq n$ debba essere ${2,...,n}$, quindi, mentre crederei che debba essere $q:{1,...,n-1}\to {1,...,n-1}$, qui sembrerebbe che $q:{1,...,n-1}\to {2,...,n}$... o alternativamente che $r:{1,2,...,n}\to{1,1,2,...,n-1}$ con $r(1)=1$ e $r({2,...,n})={1,...,n-1}$...
Dove sbaglio?
Una mia interpretazione, forse un delirio, sempre con il linguaggio rozzo di prima, è che, immaginando la colonna \(A_{(1)}\) trasposta dalle "$j-1$ trasposizioni di elementi contigui" della citazione in posizione $j$-esima con a sinistra in ordine le colonne \(A_{(2)},...,A_{(j-1)}\) e a destra le colonne \(A_{(j)},...,A_{(n)}\), $p$ "riporta" questa "rinominata $j$-esima" colonna \(A_{(1)}\) alla posizione 1 che occupava in $A$ e "mischia" le colonne quindi "rimaste" a destra, che sono proprio le \(A_{(2)},...,A_{(n)}\) dell'originale $A$, così come avrebbe fatto rispettivamente con \(A_{(1)},...,A_{(j-1)},A_{(j+1)},...A_{(n)}\) se non avesse trovato \(A_{(1)}\) in posizione $j$... Stavolta senza che agli scambi di colonne rappresentati $q$ si associ una "rinominazione dei vettori colonna", per non trovarsi con le immagini impossibili per una permutazione di cui sopra.
Sperando che qualcuno possa aiutarmi a chiarirmi le idee ringrazio tutti $oo$-mente...
Nella dimostrazione della validità dello sviluppo per righe del determinante (p. 82 dell'ed. del 2000 Bollati Boringhieri) l'autore considera i termini della sommatoria \(\sum_{p\in\sigma_n}\epsilon(p)a_{1p(1)}...a_{np(n)}=\det(A)\) in cui, per un $j$ fissato, compare $a_{1j}$, che sono della forma \(\epsilon(p)a_{1j}a_{2p(2)}...a_{np(n)}\) dove $p\in\sigma_n$ è la permutazione tale che $p(1)=j$. Il testo definisce quindi la permutazione corrispondente a $p$ (in che senso? la mia interpretazione segue sotto) $q\in\sigma_{n-1}$ definita per $k=1,...,n-1$ da
\(q(k) = \begin{cases} p(k+1)&\text{se }p(k+1)
Direi che il determinante di $A$ possa essere visto come la sommatoria del prodotto per il segno della permutazione dei coefficienti sulla diagonale di tutte le matrici ottenute permutando le colonne (o le righe) di $A$. Analogamente -perdonate la rozzezza del linguaggio e del metodo che ho usato per fissare le idee- direi che il termine \(\epsilon(p)a_{1j}a_{2p(2)}...a_{np(n)}\) è il prodotto per il segno della permutazione dei termini sulla diagonale della matrice che si ottiene "spostando", con $j-1$ trasposizioni tra colonne contigue, la $j$-esima colonna in prima posizione ed operando poi una permutazione sulle restanti $n-1$ colonne (che dopo le $j-1$ trasposizioni si trovano a destra di quella che era la $j$-esima colonna ora in prima posizione) che, "rinominando i posti delle colonne $2,...,n$ a destra della prima" come $1,...,n-1$ e "rinominando i vettori colonna" $j+1$-esimo,...,$n$-esimo come $j$-esimo,...,$n-1$-esimo, è proprio la permutazione che "sposta" il $q(k)$-esimo vettore colonna nella $k$-esima posizione (come detto, $k$-esimo e $q(k)$-esimo si intendono secondo la rinominazione dei vettori colonna e dei posti delle colonne). Sto sragionando?
Alla luce di questa interpretazione non mi sono stupito di trovare scritto subito dopo che $(-1)^{j-1}\epsilon(q)=\epsilon(p)$.
Ciò che mi è più difficile da capire è che quest'ultima uguaglianza è spiegata con il fatto che
la permutazione $r\in\sigma_n$, definita da
$r(1)=1,$
$r(k)=q(k-1),\text{ }k=2,...,n$
è ottenuta componendo $p$ con $j-1$ trasposizioni di elementi contigui, e quindi soddisfa $\epsilon(r)=(-1)^{j-1}\epsilon(p)$. D'altra parte, per definizione, si ha evidentemente $\epsilon(q)=\epsilon(r)$.
Direi che la permutazione $r:{1,...,n}\to {1,...,n}$ è tale che, visto che 1 è già l'immagine di $r(1)$, l'immagine di $r(k)$ con $2\leq k \leq n$ debba essere ${2,...,n}$, quindi, mentre crederei che debba essere $q:{1,...,n-1}\to {1,...,n-1}$, qui sembrerebbe che $q:{1,...,n-1}\to {2,...,n}$... o alternativamente che $r:{1,2,...,n}\to{1,1,2,...,n-1}$ con $r(1)=1$ e $r({2,...,n})={1,...,n-1}$...
Dove sbaglio?Una mia interpretazione, forse un delirio, sempre con il linguaggio rozzo di prima, è che, immaginando la colonna \(A_{(1)}\) trasposta dalle "$j-1$ trasposizioni di elementi contigui" della citazione in posizione $j$-esima con a sinistra in ordine le colonne \(A_{(2)},...,A_{(j-1)}\) e a destra le colonne \(A_{(j)},...,A_{(n)}\), $p$ "riporta" questa "rinominata $j$-esima" colonna \(A_{(1)}\) alla posizione 1 che occupava in $A$ e "mischia" le colonne quindi "rimaste" a destra, che sono proprio le \(A_{(2)},...,A_{(n)}\) dell'originale $A$, così come avrebbe fatto rispettivamente con \(A_{(1)},...,A_{(j-1)},A_{(j+1)},...A_{(n)}\) se non avesse trovato \(A_{(1)}\) in posizione $j$... Stavolta senza che agli scambi di colonne rappresentati $q$ si associ una "rinominazione dei vettori colonna", per non trovarsi con le immagini impossibili per una permutazione di cui sopra.
Sperando che qualcuno possa aiutarmi a chiarirmi le idee ringrazio tutti $oo$-mente...
Risposte
Ciao Davide.
Ammetto di non aver letto minimamente il tuo post, scusami.
Quella dimostrazione tre anni fa mi fece impazzire.
Aprii un topic qui sul forum per chiedere consiglio sulla correttezza di una mia leggera rielaborazione della dimostrazione di Sernesi. All'epoca non avevo idea se fosse giusta o meno.
Spronato dalla tua domanda, sono andato a rileggerla e l'ho trovata corretta (almeno secondo me).
Prova a darci un'occhiata, mi sembra leggermente più chiara di come l'ha scritta Sernesi.
Mi farebbe piacere un tuo parere.
P.S. Basta che guardi i primi due post: non garantisco la correttezza del resto.
Ammetto di non aver letto minimamente il tuo post, scusami.
Quella dimostrazione tre anni fa mi fece impazzire.
Aprii un topic qui sul forum per chiedere consiglio sulla correttezza di una mia leggera rielaborazione della dimostrazione di Sernesi. All'epoca non avevo idea se fosse giusta o meno.
Spronato dalla tua domanda, sono andato a rileggerla e l'ho trovata corretta (almeno secondo me).
Prova a darci un'occhiata, mi sembra leggermente più chiara di come l'ha scritta Sernesi.
Mi farebbe piacere un tuo parere.
P.S. Basta che guardi i primi due post: non garantisco la correttezza del resto.
Grazie, Leonardo!!! Non capisco alcune cosette: $s\in \sigma_n$ è lo stesso di \(\begin{pmatrix}1&2&\dots &j-1&j&j+1&\dots &n\\j&1&\dots &j-2&j-1&j+1&\dots &n\end{pmatrix}\)?
Le permutazioni che hai chiamato $q\in\sigma_{n}$ e $r\in\sigma_{n-1}$ sono correlate alle $q\in\sigma_{n-1}$ e $r\in\sigma_{n}$ del Sernesi? A me ha causato problemi il fatto che, mentre $r\in\sigma_n$, come definita dal Sernesi, mi sembrerebbe essere una permutazione $r:{1,...,n}\to {1,...,n}$, ho l'impressione che, visto che 1 è già l'immagine di $r(1)$, l'immagine di $r(k)$ con $k=2,...,n$ debba essere ${2,...,n}$, perciò, mentre per come viene precedente definita $q\in\sigma_{n-1}$ crederei che si debba avere $q:{1,...,n-1}\to {1,...,n-1}$, qua mi sembrerebbe invece che $q:{1,...,n-1}\to {2,...,n}$...
Grazie ancora e speriamo di raccapezzarci (a me interessa capire proprio quelle permutazioni in particolare, anche se di dimostrazioni allo sviluppo di Laplace ne esistono altre, come quella che ho trovato, almeno abbozzata, su Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi matematica 2)...
Le permutazioni che hai chiamato $q\in\sigma_{n}$ e $r\in\sigma_{n-1}$ sono correlate alle $q\in\sigma_{n-1}$ e $r\in\sigma_{n}$ del Sernesi? A me ha causato problemi il fatto che, mentre $r\in\sigma_n$, come definita dal Sernesi, mi sembrerebbe essere una permutazione $r:{1,...,n}\to {1,...,n}$, ho l'impressione che, visto che 1 è già l'immagine di $r(1)$, l'immagine di $r(k)$ con $k=2,...,n$ debba essere ${2,...,n}$, perciò, mentre per come viene precedente definita $q\in\sigma_{n-1}$ crederei che si debba avere $q:{1,...,n-1}\to {1,...,n-1}$, qua mi sembrerebbe invece che $q:{1,...,n-1}\to {2,...,n}$...
Grazie ancora e speriamo di raccapezzarci (a me interessa capire proprio quelle permutazioni in particolare, anche se di dimostrazioni allo sviluppo di Laplace ne esistono altre, come quella che ho trovato, almeno abbozzata, su Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi matematica 2)...
"DavideGenova":
Grazie, Leonardo!!! Non capisco alcune cosette: $s\in \sigma_n$ è lo stesso di \(\begin{pmatrix}1&2&\dots &j-1&j&j+1&\dots &n\\j&1&\dots &j-2&j-1&j+1&\dots &n\end{pmatrix}\)?
Scusami, errore mio dovuto ad un copia e incolla. Ora ho corretto.
"DavideGenova":
Le permutazioni che hai chiamato $q\in\sigma_{n}$ e $r\in\sigma_{n-1}$ sono correlate alle $q\in\sigma_{n-1}$ e $r\in\sigma_{n}$ del Sernesi? A me ha causato problemi il fatto che, mentre $r\in\sigma_n$, come definita dal Sernesi, mi sembrerebbe essere una permutazione $r:{1,...,n}\to {1,...,n}$, ho l'impressione che, visto che 1 è già l'immagine di $r(1)$, l'immagine di $r(k)$ con $k=2,...,n$ debba essere ${2,...,n}$, perciò, mentre per come viene precedente definita $q\in\sigma_{n-1}$ crederei che si debba avere $q:{1,...,n-1}\to {1,...,n-1}$, qua mi sembrerebbe invece che $q:{1,...,n-1}\to {2,...,n}$...
Le mie permutazioni non hanno alcuna relazione con quelle di Sernesi: semplicemente, ho provato a sistemare un attimo l'ottima idea di Sernesi, cioè ridursi dalle permutazioni di \(\displaystyle n \) oggetti a quelle di \(\displaystyle n-1 \) oggetti fissando a \(\displaystyle j \) l'immagine di \(\displaystyle 1 \). Forse la mia \(\displaystyle r \) corrisponde alla \(\displaystyle q \) di Sernesi.
"DavideGenova":
Grazie ancora e speriamo di raccapezzarci (a me interessa capire proprio quelle permutazioni in particolare, anche se di dimostrazioni allo sviluppo di Laplace ne esistono altre, come quella che ho trovato, almeno abbozzata, su Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi matematica 2)...
Purtroppo, io non ho trovato nessun'altra dimostrazione che derivi lo sviluppo di Laplace dalla definizione tramite permutazioni. Cosa intendi, inoltre, con "almeno abbozzata"? Per me una dimostrazione o è o non è: se vogliamo discutere l'idea alla base di una dimostrazione va bene ma le dimostrazioni abbozzate non mi sono mai andate molto giù, specialmente nei settori della matematica che preferisco.
Per quanto riguarda le permutazioni di Sernesi in particolare, non so quanto possano funzionare. Secondo me, c'è almeno un errore evidente, a pagina 83, 3° riga, nella definizione di \(\displaystyle r \), manca un \(\displaystyle +1 \), dato che le immagini di \(\displaystyle r \) e \(\displaystyle q \) sono diverse.
Grazie di cuore ancora!!! Adesso credo di aver capito la tua interessante dimostrazione.
Per quanto riguarda le permutazioni del Sernesi, se $r(k)=q(k-1)+1$ per $k=2,...,n$ allora il problema della disuguaglianza tra domini ed immagini si risolve.
In effetti, non esprimendomi in termini rigorosi, avrei l'impressione che il fatto che "$r$ è ottenuta componendo $p$ con $j-1$ trasposizioni di elementi contigui" sia interpretabile (considerando $\det(A)$ come sommatoria dei prodotti con segno della permutazione rispettiva dei coefficienti sulle diagonali ottenute permutando le colonne di $A$) così: $p$ sposta la colonna $j$-esima in prima posizione e mischia poi le altre "rimaste a destra" in un certo modo; se sposto la prima colonna in posizione $j$-esima (con $j-1$ trasposizioni di elementi contigui) lasciando intatto l'ordine delle altre colonne, rinomino gli indici di queste colonne che sono $2,...,j-1,j,1,j+1,...n$ come $1,2,,..,n$ ed applico la permutazione $p$ agli indici di colonna rinominati ho $r$, di segno $\epsilon(r)=(-1)^{j-1}\epsilon(p)$. Forse è un delirio...
Mi sono espresso male: quella abbozzata e lasciata da completare come esercizio al lettore che ho sul libro di analisi prova che lo sviluppo di Laplace è l'unica $f(A)$ lineare nelle colonne, che cambia segno se si scambiano le righe e tale che $\det(I_n)=1$.
Quoto.
$+oo$ grazie ancora!!!
Per quanto riguarda le permutazioni del Sernesi, se $r(k)=q(k-1)+1$ per $k=2,...,n$ allora il problema della disuguaglianza tra domini ed immagini si risolve.
In effetti, non esprimendomi in termini rigorosi, avrei l'impressione che il fatto che "$r$ è ottenuta componendo $p$ con $j-1$ trasposizioni di elementi contigui" sia interpretabile (considerando $\det(A)$ come sommatoria dei prodotti con segno della permutazione rispettiva dei coefficienti sulle diagonali ottenute permutando le colonne di $A$) così: $p$ sposta la colonna $j$-esima in prima posizione e mischia poi le altre "rimaste a destra" in un certo modo; se sposto la prima colonna in posizione $j$-esima (con $j-1$ trasposizioni di elementi contigui) lasciando intatto l'ordine delle altre colonne, rinomino gli indici di queste colonne che sono $2,...,j-1,j,1,j+1,...n$ come $1,2,,..,n$ ed applico la permutazione $p$ agli indici di colonna rinominati ho $r$, di segno $\epsilon(r)=(-1)^{j-1}\epsilon(p)$. Forse è un delirio...
"Leonardo89":
Purtroppo, io non ho trovato nessun'altra dimostrazione che derivi lo sviluppo di Laplace dalla definizione tramite permutazioni.
Mi sono espresso male: quella abbozzata e lasciata da completare come esercizio al lettore che ho sul libro di analisi prova che lo sviluppo di Laplace è l'unica $f(A)$ lineare nelle colonne, che cambia segno se si scambiano le righe e tale che $\det(I_n)=1$.
"Leonardo89":
le dimostrazioni abbozzate non mi sono mai andate molto giù
Quoto.
$+oo$ grazie ancora!!!
"DavideGenova":
Grazie di cuore ancora!!! Adesso credo di aver capito la tua interessante dimostrazione.
Figurati!
Piacere mio di aver finalmente compreso a fondo quella dimostrazione! 
Volevo segnalare che, studiando sullo Strang, Algebra lineare, ho trovato alle pp. 221-222 dell'edizione Apogeo una derivazione della formula \(\sum_{p\in\sigma_n}\epsilon(p)a_{1p(1)}...a_{np(n)}\) del determinante a partire dalle sue proprietà che conferma la mia interpretazione sulla permutazione delle colonne. Mi è piaciuta molto questa descrizione...
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