Parti stabili e strutture isomorfe
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e vorrei sapere se l'ho svolto correttamente.
Sia $S = {2^n : n in NN}$, verificare che $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$, e che le strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe!
Per la prima parte ho proceduto così:
$AA x,y in S, EE m,n in NN : 2^m = x$ e $2^n = y => x*y = 2^(m+n)$
Essendo $NN$ chiuso rispetto all'operazione $"+"$, $m+n in NN$, ne segue quindi che $2^(m+n) in S$. Quindi $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$.
E' possibile definire quindi un'applicazione:
$\cdot_{S} : (x,y) in S \times S -> x \cdot y in S$
Fin quì è corretto? Inoltre come faccio a verificare che e strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe?
Sia $S = {2^n : n in NN}$, verificare che $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$, e che le strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe!
Per la prima parte ho proceduto così:
$AA x,y in S, EE m,n in NN : 2^m = x$ e $2^n = y => x*y = 2^(m+n)$
Essendo $NN$ chiuso rispetto all'operazione $"+"$, $m+n in NN$, ne segue quindi che $2^(m+n) in S$. Quindi $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$.
E' possibile definire quindi un'applicazione:
$\cdot_{S} : (x,y) in S \times S -> x \cdot y in S$
Fin quì è corretto? Inoltre come faccio a verificare che e strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe?
Risposte
"Spike32":
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e vorrei sapere se l'ho svolto correttamente.
Sia $S = {2^n : n in NN}$, verificare che $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$, e che le strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe!
Il punto esclamativo faceva parte del testo dell'esercizio, o si tratta solo di una richiesta molto perentoria?
Fin quì è corretto? Inoltre come faccio a verificare che e strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe?
Trova un isomorfismo tra loro; significa trovare una funzione $(S, \cdot)\to(NN, +)$ che sia biiettiva e un omomorfismo di monoidi. Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.
"fmnq":
[quote="Spike32"]Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e vorrei sapere se l'ho svolto correttamente.
Sia $S = {2^n : n in NN}$, verificare che $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$, e che le strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe!
Il punto esclamativo faceva parte del testo dell'esercizio, o si tratta solo di una richiesta molto perentoria?[/quote]
Il punto esclamativo faceva parte dell'esercizio
Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.
Mi spiace credo di non aver capito
"fmnq":
Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.
Mi spiace credo di non aver capito
Quello che ti stava suggerendo Spike32 è di considerare l'applicazione $\varphi : NN \to S$ definita da $\varphi(n)=2^n$ e verificare che si tratta di un isomorfismo.
"Platone":
[quote="fmnq"]
Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.
Mi spiace credo di non aver capito
Quello che ti stava suggerendo Spike32 è di considerare l'applicazione $\varphi : NN \to S$ definita da $\varphi(n)=2^n$ e verificare che si tratta di un isomorfismo.[/quote]
Quindi l'unica cosa che mi resta da fare è verificare che l'applicazione sia biettiva (che a prima vista sembra esserlo) e dire che le due strutture sono isomorfe?
"Spike32":
Quindi l'unica cosa che mi resta da fare è verificare che l'applicazione sia biettiva (che a prima vista sembra esserlo) e dire che le due strutture sono isomorfe?
Più che dire, bisogna verificare che si tratta di un isomorfismo. Quindi prima provi la biettività e poi che si conservano le operazioni , cioè che
$\forall n_1,n_2 \in NN$ si ha $\varphi(n_1+n_2)= \varphi(n_1)\cdot \varphi(n_2)$.
ps. mi rendo conto ora che il suggerimento era venuto da fmnq; Spike32 sei te
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