Parità di una permutazione

[qxtr01]

Prendiamo $X={a}$. In questo caso l'insieme $S_X$ delle permutazioni su $X$ contiene soltanto quella permutazione tale per cui $a\mapsto a$. Mi chiedo: questa permutazione è pari o dispari? Per saperlo so che dovrei riscriverla come composizione di scambi, ma proprio non ci riesco... Come si fa? Grazie.

[Studente Anonimo]

L'identita' e' una permutazione pari. Se vuoi, e' il prodotto di zero trasposizioni quindi il suo segno e' $(-1)^0=1$. Questo argomento potrebbe non piacere, un altro e' "per convenienza": se l'identita' fosse dispari allora sarebbe anche pari, dato che $1^2=1$. Questo non da' fastidio solo se come nel tuo caso l'insieme ha un solo elemento, ma a questo punto credo che se $X={a}$ si decide per coerenza cogli altri casi che il solo elemento di $Sym(X)$ e' una permutazione pari.
In definitiva: secondo me che l'identita' sia una permutazione pari in realta' si assume nella definizione di segno.

[qxtr01]

ma quindi non è vero che, cito dal mio libro di testo, "ogni permutazione può essere scritta come prodotto di trasposizioni o scambi". la permutazione di cui prima, a quanto mi pare di evincere, infatti, non può essere scritta come prodotto di scambi. la regola dovrebbe essere riscritta come "sia $|X|\geq 2$. sia $S_X$ l'insieme delle permutazioni $\sigma$ su $X$. allora ogni permutazione $\sigma$ può essere scritta come prodotto di scambi".

[Lord K]

Ripetiamo: l'identità è una permutazione quindi quanto citi è vero!

[Studente Anonimo]

"qxtr01":ma quindi non è vero che, cito dal mio libro di testo, "ogni permutazione può essere scritta come prodotto di trasposizioni o scambi".

E' vero invece, pero' con la doverosa convenzione che un prodotto di zero trasposizioni sia l'identita'.