P-sottogruppi di Sylow

[aram1]

Come faccio a dimostrare che se G è un gruppo finito è di ordine $p^a$ se e solo se tutti gli elementi di G hanno periodo potenza di p? La parte $rightarrow$ mi sembra una conseguenza del teorema di Lagrange per i gruppi, infatti si ha che il sottogruppo ciclico generato da ogni elemento di un gruppo ha ordine divisore dell'ordine del gruppo, quindi anche il periodo del generatore sarà divisore dell'ordine del gruppo.
Invece la parte $leftarrow$ non riesco a dimostrarla; mi è stato suggerito che possono centrare i sottogruppi di Sylow, ovvero i sottogruppi di G di ordine potenza di p...riuscite a darmi una mano?

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La direzione [tex]\Leftarrow[/tex] è un'immediata applicazione del teorema di Cauchy.

[aram1]

quale sarebbe l'applicazione? scusa ma fatico a collegare le cose.

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Supponi che tutti gli elementi di [tex]G[/tex] abbiano ordine una potenza di [tex]p[/tex]. Vuoi dimostrare che [tex]|G|[/tex] è una potenza di [tex]p[/tex], in altre parole vuoi dimostrare che "se [tex]q[/tex] è un primo che divide [tex]|G|[/tex] allora necessariamente [tex]q=p[/tex]". Prendi quindi un primo [tex]q[/tex] che divide [tex]|G|[/tex]. Ora applica il teorema di Cauchy.