P-sottogruppi di Sylow

[squalllionheart]

Rega, vorrei delle delucidazioni rispetto alle applicazioni del teorema di Sylow.
Allora $|G|=30=235$
Allora ho sicuramente dei sottogruppi di ordine $2,3,5$.
Andiamo a studiare quanti sono.
E qui ho un dubbio. La terza parte del teorema afferma che il numero dei p-sottogruppi di Sylow è congruo a $1 modul p$ e deve essere un divisore dell'ordine di $G$.
Nel caso dei 2-sottogruppi di Sylow abbiamo che questi possono essere $3,5,15$ perchè tutti e tre sono congrui a $1 modul p$ e sono divisori di 30.
Quanti sono i sottogruppi di di ordine 2?
Inoltre problema due.
Se $|G|=30$ allora esiste un sottogruppo normale di ordine 15. Mi sfugge il perchè .
Spero a presto.Mari

[miuemia]

effetivamente ci sono gruppi per cui il numero dei $2$sylow è uno (te l'eri dimenticato), tre, cinque, quindici..
e sono rispettivamente $C_30$ , $C_5xS_3$ , $C_3xD_6$ e $D_15$...
beh hai che per un gruppo di ordine 30 esiste un solo sottogruppo di ordine 3 e uno solo di ordine 5 quindi sono normali e la loro intersezione è l'identità e se consideri il gruppo prodotto beh quello ti fornisce il sottogruppo di indice 2.

[squalllionheart]

che intendi per indice 2?
Il fatto che siano i soli sottogruppi di ordine $3$ e $5$ e dato che $3$ e $5$ sono primi di dice che saranno isomorfi a $ZZ_3$ e $ZZ_5$ e che il prodotto diretto di $ZZ_3X ZZ_5$ è isomorfo a $ZZ_15$ che è di ordine $15$ ed è ciclico.
Ma chi mi dice che il prodotto diretto dei miei due fantastici sottogruppi di ordine $3$ e $5$ sta dentro il mio gruppo?

[miuemia]

intendo che la sua cardinalità è 15 !!!!!!!!!!!!!

beh se prendi due elementi del gruppo rimani sempre nel gruppo