P non divide z

[pagliagiorgia]

Buonasera a tutti! se p è un numero primo con $bar p = bar3$ in $ZZ$ / $4ZZ$ e se $z=x^2+1$ con $x in ZZ$, posso dire che allora p non divide z?

[Martino]

Si' lo puoi dire, ma la dimostrazione non e' evidente. Conosci il simbolo di Legendre?
Anche qui, vedi anche qui.

[pagliagiorgia]

No non lo conosco infatti sono un pò bloccata con questo tipo di dimostrazioni...

[Lord K]

Qui la dimostrazione è più semplice di quanto pensi... allora il problema è equivalente a trovare tutti i campi finiti di non spezzamento di [tex]x^2+1[/tex] o ancor più semplicemente per quali [tex]p[/tex] l'equazione [tex]x^2+1 \equiv 0 \mod p[/tex] non ammette soluzioni.

Prova a seguire il mio ragionamento.

Supponiamo che [tex]x^2+1\equiv (x-\alpha_0)(x-\alpha_1) \mod p[/tex], allora necessariamente avremo che:

[tex]\alpha_0\alpha_1=1[/tex] ed anche [tex]\alpha_0+\alpha_1=0[/tex].

Da questo allora esiste un elemento tale che [tex]-\alpha_0=\alpha_0^{-1}[/tex].

Costruiamo un sottogruppo (moltiplicativo) di [tex]\mathbb Z_p[/tex] con questo elemento,

[tex]H = \{ 1, \alpha_0, -\alpha_0, \alpha_0^2 \}[/tex]

E notiamo che è un sottogruppo proprio di [tex]\mathbb Z_p[/tex], ma allora per il teorema (mi pare) di Lagrange, allora [tex]4| o(\mathbb Z_p-\{0\})[/tex] e quindi [tex]4| p-1[/tex] ed allora [tex]p=4k+1[/tex] per qualche [tex]k[/tex].

Allora se cerchiamo ove questo non si può fare, allora il primo deve essere nella forma [tex]p=4k+3[/tex]. c.v.d [tex]\diamond[/tex]