P-gruppi non abeliani
Dato un p-gruppo di ordine $p^4$ NON ABELIANO, cosa posso dire sull'ordine del centro, degli elementi e stimare il numero delle classi di coniugio?
Dunque, $Z(G)$ ha ordine almeno $p$ per l'equazione delle classi, e non può avere ordine $p^4$, altrimenti sarebbe abeliano.
Quindi $|Z(G)|$ può essere $p$, $p^2$ o $p^3$.
Ma possono succedere tutti e 3 i casi?
Gli elementi di $G$ non possono avere ordine $p^4$ xke altrim sarebbe ciclico.
Sicuramente c è un elemento di ordine p.
C' è un sottogruppo di ordine $p^2$ ma potrebbe essere $C_p\timesC_p$ quindi non è detto che ce ne sia un elem di ordine $p^2$....
Dunque, $Z(G)$ ha ordine almeno $p$ per l'equazione delle classi, e non può avere ordine $p^4$, altrimenti sarebbe abeliano.
Quindi $|Z(G)|$ può essere $p$, $p^2$ o $p^3$.
Ma possono succedere tutti e 3 i casi?
Gli elementi di $G$ non possono avere ordine $p^4$ xke altrim sarebbe ciclico.
Sicuramente c è un elemento di ordine p.
C' è un sottogruppo di ordine $p^2$ ma potrebbe essere $C_p\timesC_p$ quindi non è detto che ce ne sia un elem di ordine $p^2$....
Risposte
Hint 1 : Il quoziente di un gruppo non abeliano con il suo centro può essere ciclico?
Dunque, poichè G è abeliano devo escludere i casi in cui $G/{Z(G)}$ è ciclico, ovvero, $|Z(G)|=p^3$, e il caso in cui $Z(G)=C_2$.
Perchè:
altrimenti $G/{Z(G)}= = $ per qualche $g\inG$, cioè $xZ(G)=(gZ(G))^k=g^kZ(G)$ e quindi $x=g^k\cdotz$ per qualche $z\inZ(G)$. ma allora $G=$ perchè ho scritto $x\inG$ come prodotto dei due...
Ora presi due elementi in G, $x=g^kz, x=g^jw$ questi elementi commutano,(banale) e quindi G è commutativo. Ma allora se G è commutativo, $G=Z(G)$. OK?
Bene, ora mi rimangono queste possibilità:
$Z(G) = C_p$ (centro ordine p)
$Z(G)=C_p\timesC_p$ (centro abeliano ordine $p^2$)
$|Z(G)|=2$ (centro Non abeliano di ordine $p^2$).
Del terzo caso cosa posso dire?
Perchè:
altrimenti $G/{Z(G)}=
Ora presi due elementi in G, $x=g^kz, x=g^jw$ questi elementi commutano,(banale) e quindi G è commutativo. Ma allora se G è commutativo, $G=Z(G)$. OK?
Bene, ora mi rimangono queste possibilità:
$Z(G) = C_p$ (centro ordine p)
$Z(G)=C_p\timesC_p$ (centro abeliano ordine $p^2$)
$|Z(G)|=2$ (centro Non abeliano di ordine $p^2$).
Del terzo caso cosa posso dire?
Un centro può essere non abeliano? Prova a rileggerti la definizione...
Ooooops... Che figura di m...
per quanto riguarda gli elementi? che ordine possono avere?
sicuramente non ordine $p^4$ e sicuramente ce ne sono almeno $p$ di ordine $p$.
Per il resto? siamo sicuri ce ne siano di ordine $p^2$ e $p^3$?
sicuramente non ordine $p^4$ e sicuramente ce ne sono almeno $p$ di ordine $p$.
Per il resto? siamo sicuri ce ne siano di ordine $p^2$ e $p^3$?
"crypto4":No. Prendi [tex]p[/tex] primo diverso da [tex]2[/tex]. Per ogni intero [tex]n \geq 3[/tex] ti esibisco un esempio di gruppo non abeliano di ordine [tex]p^n[/tex] ogni cui elemento non identico ha ordine [tex]p[/tex] (perché ho preso [tex]p \neq 2[/tex]? Ti invito a dimostrare, se non lo sai già, che se ogni elemento non identico di un gruppo ha ordine 2 allora tale gruppo è abeliano).
siamo sicuri ce ne siano di ordine $p^2$ e $p^3$?
Considera lo spazio vettoriale [tex]V = \mathbb{F}_p^2[/tex] e la matrice $g := ((1,1),(0,1)) \in GL(V) = GL(2,p)$. Sia [tex]G[/tex] il prodotto semidiretto [tex]V \rtimes \langle g \rangle[/tex], dove [tex]V[/tex] è visto come gruppo additivo e l'azione è quella naturale indotta da [tex]GL(V)[/tex] su [tex]V[/tex], [tex]GL(V) \times V \ni (h,v) \mapsto h \cdot v[/tex] (prodotto matrice per vettore). Osserva che [tex]g[/tex] e ogni [tex]v \in V[/tex] hanno ordine [tex]p[/tex] in [tex]G[/tex]. Per capire il conto che segue ti serve un minimo di confidenza coi prodotti semidiretti.
Prendiamo un generico [tex]vg^k \in G[/tex] e scriviamo $v=((v_1),(v_2))$. Si ha $(vg^k)^p = v + v^{g^{-k}} + ... + v^{g^{-(p-1)k}} = ((p v_1 - k \sum_{i=1}^{p-1} iv_2),(p v_2)) = 0 = 1_G$,
essendo [tex]\sum_{i=1}^{p-1} i = p(p-1)/2[/tex] divisibile per [tex]p[/tex], essendo [tex]p \neq 2[/tex].
Ora [tex]|G|=p^3[/tex], e se prendi un qualunque [tex]n \geq 3[/tex] intero chiaramente [tex]G \times C_p^{n-3}[/tex] è un gruppo non abeliano di ordine [tex]p^n[/tex] ogni cui elemento ha ordine [tex]p[/tex].
Si può dare una buona stima superiore ed inferiore per il numero di classi di coniugio per $G$ non abeliano di ordine $p^4$?
Chiama [tex]n[/tex] il numero di classi di coniugio di [tex]G[/tex]. Allora dalla solita equazione delle classi hai
[tex]|G| = |Z(G)| + \sum_i |G:C_G(x_i)|[/tex],
dove i [tex]x_i[/tex] sono rappresentanti di classi non centrali. Siccome [tex]|G|=p^4[/tex], [tex]p \leq |Z(G)| \leq p^2[/tex] e [tex]p \leq |G:C_G(x_i)| \leq p^3[/tex] ottieni
[tex]p^4 \geq p + (n-p^2)p[/tex],
[tex]p^4 \leq p^2 + (n-p)p^3[/tex].
Per cui [tex]2p-1/p \leq n \leq p^3+p^2-1[/tex].
Comunque trovi cose su internet, per esempio questo.
Osservo una cosa: praticamente stai chiedendo di stimare la probabilità che due elementi commutino. Detto [tex]k(G)[/tex] il numero di classi di coniugio di [tex]G[/tex], la probabilità che due elementi commutino (cioè la probabilità che una coppia [tex](a,b) \in G \times G[/tex] verifichi [tex]ab=ba[/tex]) risulta essere [tex]k(G)/|G|[/tex] (non è un conto difficile).
[tex]|G| = |Z(G)| + \sum_i |G:C_G(x_i)|[/tex],
dove i [tex]x_i[/tex] sono rappresentanti di classi non centrali. Siccome [tex]|G|=p^4[/tex], [tex]p \leq |Z(G)| \leq p^2[/tex] e [tex]p \leq |G:C_G(x_i)| \leq p^3[/tex] ottieni
[tex]p^4 \geq p + (n-p^2)p[/tex],
[tex]p^4 \leq p^2 + (n-p)p^3[/tex].
Per cui [tex]2p-1/p \leq n \leq p^3+p^2-1[/tex].
Comunque trovi cose su internet, per esempio questo.
Osservo una cosa: praticamente stai chiedendo di stimare la probabilità che due elementi commutino. Detto [tex]k(G)[/tex] il numero di classi di coniugio di [tex]G[/tex], la probabilità che due elementi commutino (cioè la probabilità che una coppia [tex](a,b) \in G \times G[/tex] verifichi [tex]ab=ba[/tex]) risulta essere [tex]k(G)/|G|[/tex] (non è un conto difficile).
"Martino":
[tex]p^4 \geq p + (n-p^2)p[/tex],
[tex]p^4 \leq p^2 + (n-p^2)p^3[/tex].
Scusa... perchè?
Ho sistemato un errore e scritto qualche dettaglio in più, ora dovrebbe essere chiaro.
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