$p$-cicli
Salve a tutti,
magari sarà una banalità, ma non riesco a trovare una spiegazione al fatto che le potenze di un $p$-ciclo sono ancora $p$-cicli. Dove sta la chiave per vederlo?
Vi ringrazio
magari sarà una banalità, ma non riesco a trovare una spiegazione al fatto che le potenze di un $p$-ciclo sono ancora $p$-cicli. Dove sta la chiave per vederlo?
Vi ringrazio
Risposte
Prendi un $p-$ciclo $\sigma$, questo genera un gruppo di ordine $p$. Che ordine hanno gli elementi non banali del gruppo? Quali sono le permutazioni con quel determinato ordine in $S_n$?
Credo di aver capito, vediamo
Sia $H=\langle\sigma\rangle$, dove $\sigma$ è un $p$-ciclo.
Allora $\abs{H}=o(\sigma)=p$. Essendo $p$ primo, $H$ è ciclico, dunque $H\congZ_{p}$. Sappiamo che se $h\in Z_{n}$, allora $o(a)=\frac{m.c.m(a,n)}{a}$, in particolare, se $n=p$ con $p$ primo, allora $o(a)=p$.
Allora, se $a\in H$, $o(a)=p$ e le permutazioni di $S_{n}$ di ordine $p$ sono o $p$.cicli o prodotto di $p$-cicli disgiunti.
Sia $H=\langle\sigma\rangle$, dove $\sigma$ è un $p$-ciclo.
Allora $\abs{H}=o(\sigma)=p$. Essendo $p$ primo, $H$ è ciclico, dunque $H\congZ_{p}$. Sappiamo che se $h\in Z_{n}$, allora $o(a)=\frac{m.c.m(a,n)}{a}$, in particolare, se $n=p$ con $p$ primo, allora $o(a)=p$.
Allora, se $a\in H$, $o(a)=p$ e le permutazioni di $S_{n}$ di ordine $p$ sono o $p$.cicli o prodotto di $p$-cicli disgiunti.
Ok, chiaramente se $\tau = \sigma^i$ allora non può essere prodotto di $p-$cilci, perché $sigma$ muove solo $p-$numeri, quindi è necessariamente un $p-$ciclo(l'opzione $\tau$ è prodotto di ciclici disgiunti che partizionano $p$ è scartata per questioni di ordine).
Chiaro?
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Ottimo!
Grazie!
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