Ordini fondati inferiormente e sottocatene?
buongiorno a tutti. ho un dubbio riguardante gli ordini fondati inferiormente
Si dice ordine fondato inferiormente un insieme ordinato \(\displaystyle (A,\leq) \) tale che ogni suo sottoinsieme abbia elemento minimale (possieda cioè un elemento tale che nessun altro elemento del sottoinsieme sia più piccolo di esso);
Mi chiedevo: si può dire che un ordine è fondato inferiormente se e solo se ogni sua sottocatena ammette minimo?
L'implicazione da sinistra a desta è facile da dimostrare; per l'altra non riesco a dimostrarla, e non sono neanche sicuro che sia vero! ma non sto riuscendo neanche a trovare un controesempio.
Mi aiutate?
EDIT: provo a postare un mio tentativo. Dimostriamo che se un ordine NON è fondato inferiormente allora esiste una sottocatena che non ammette minimo. Sia \(\displaystyle (A,\leq) \) il nostro insieme ordinato, e sia \(\displaystyle X \subseteq A \) un sottoinsieme non vuoto che non ha elemento minimale: consideriamo ora una sottocatena di \(\displaystyle X \) numerabile e discendente: preso ad arbitrio \(\displaystyle x_0 \in X \) si avrà \(\displaystyle x_i \in X_i=\{x \in X | x \leq x_{i-1} \} \) fino a che non si ha un \(\displaystyle X_i \) vuoto; allora la sottocatena numerabile e discendente costruita NON può ammettere minimo: se difatti lo ammettesse, diciamolo \(\displaystyle m \), non esisterebbe un elemento in \(\displaystyle X \) tale che è più piccolo di \(\displaystyle m \) e quindi \(\displaystyle X \) avrebbe elemento minimale, contro l'ipotesi.
Può andare?
Si dice ordine fondato inferiormente un insieme ordinato \(\displaystyle (A,\leq) \) tale che ogni suo sottoinsieme abbia elemento minimale (possieda cioè un elemento tale che nessun altro elemento del sottoinsieme sia più piccolo di esso);
Mi chiedevo: si può dire che un ordine è fondato inferiormente se e solo se ogni sua sottocatena ammette minimo?
L'implicazione da sinistra a desta è facile da dimostrare; per l'altra non riesco a dimostrarla, e non sono neanche sicuro che sia vero! ma non sto riuscendo neanche a trovare un controesempio.
Mi aiutate?
EDIT: provo a postare un mio tentativo. Dimostriamo che se un ordine NON è fondato inferiormente allora esiste una sottocatena che non ammette minimo. Sia \(\displaystyle (A,\leq) \) il nostro insieme ordinato, e sia \(\displaystyle X \subseteq A \) un sottoinsieme non vuoto che non ha elemento minimale: consideriamo ora una sottocatena di \(\displaystyle X \) numerabile e discendente: preso ad arbitrio \(\displaystyle x_0 \in X \) si avrà \(\displaystyle x_i \in X_i=\{x \in X | x \leq x_{i-1} \} \) fino a che non si ha un \(\displaystyle X_i \) vuoto; allora la sottocatena numerabile e discendente costruita NON può ammettere minimo: se difatti lo ammettesse, diciamolo \(\displaystyle m \), non esisterebbe un elemento in \(\displaystyle X \) tale che è più piccolo di \(\displaystyle m \) e quindi \(\displaystyle X \) avrebbe elemento minimale, contro l'ipotesi.
Può andare?
Risposte
Sì, va bene anche questa.
Il viceversa è vero (a patto di sostituire minimo con minorante), ma naturalmente necessita dell'assioma della scelta.
Puoi farlo sostanzialmente in due modi diversi: o consideri il poset opposto, dimostri che un ordine è fondato superiormente se e solo se ogni sua sottocatena ha un elemento maggiorante e poi torni indietro osservando che la (categoria dei) poset è autoduale (come si dimostra qui, sostanzialmente), oppure usi l'assioma della scelta a mano e provi a dimostrarlo direttamente.
Nel primo caso, l'asserto è vero per il lemma di Zorn: se ogni catena ha un maggiorante allora il poset ha un elemento massimale.
Nel secondo caso, direi che il modo più facile è usare il teorema di Zermelo sul buon ordinamento e l'induzione transfinita. Conosci questi strumenti? Sinceramente, non so nemmeno come si possa fare, senza usare questi!
Il viceversa è vero (a patto di sostituire minimo con minorante), ma naturalmente necessita dell'assioma della scelta.
Puoi farlo sostanzialmente in due modi diversi: o consideri il poset opposto, dimostri che un ordine è fondato superiormente se e solo se ogni sua sottocatena ha un elemento maggiorante e poi torni indietro osservando che la (categoria dei) poset è autoduale (come si dimostra qui, sostanzialmente), oppure usi l'assioma della scelta a mano e provi a dimostrarlo direttamente.
Nel primo caso, l'asserto è vero per il lemma di Zorn: se ogni catena ha un maggiorante allora il poset ha un elemento massimale.
Nel secondo caso, direi che il modo più facile è usare il teorema di Zermelo sul buon ordinamento e l'induzione transfinita. Conosci questi strumenti? Sinceramente, non so nemmeno come si possa fare, senza usare questi!
prima di ragionarci su: cosa intendi per poset?
In ogni caso, io il viceversa l'avevo dimostrato così:
dimostriamo che se un ordine è fondato inferiormente allora ogni sua sottocatena ammette minimo:
innanzitutto, notiamo che se \(\displaystyle (X,\leq) \) è una catena, allora la negazione della proposizione \(\displaystyle x < y \) è \(\displaystyle x \geq y \) (cosa non vera in un ordine qualunque); consideriamo ora il nostro ordine fondato inferiormente \(\displaystyle (A,\leq) \) e sia \(\displaystyle X \subset A \) una sottocatena di \(\displaystyle A \); allora \(\displaystyle \exists m \in X \) che è minimale, ovvero \(\displaystyle (\not \exists x)(x \in X \wedge x < m) \) o, equivalentemente, \(\displaystyle (\forall x \in X) (x \not < m) \); dato che \(\displaystyle X \) con l'ordine indotto è una catena, \(\displaystyle x \not < m \Leftrightarrow x \geq m \) e quindi \(\displaystyle m \) è un minimo per \(\displaystyle X \)
non ho usato l'assioma di scelta ne affermazioni ad esso equivalenti. Ma probabilmente tu intendevi qualcos'altro
In ogni caso, io il viceversa l'avevo dimostrato così:
dimostriamo che se un ordine è fondato inferiormente allora ogni sua sottocatena ammette minimo:
innanzitutto, notiamo che se \(\displaystyle (X,\leq) \) è una catena, allora la negazione della proposizione \(\displaystyle x < y \) è \(\displaystyle x \geq y \) (cosa non vera in un ordine qualunque); consideriamo ora il nostro ordine fondato inferiormente \(\displaystyle (A,\leq) \) e sia \(\displaystyle X \subset A \) una sottocatena di \(\displaystyle A \); allora \(\displaystyle \exists m \in X \) che è minimale, ovvero \(\displaystyle (\not \exists x)(x \in X \wedge x < m) \) o, equivalentemente, \(\displaystyle (\forall x \in X) (x \not < m) \); dato che \(\displaystyle X \) con l'ordine indotto è una catena, \(\displaystyle x \not < m \Leftrightarrow x \geq m \) e quindi \(\displaystyle m \) è un minimo per \(\displaystyle X \)
non ho usato l'assioma di scelta ne affermazioni ad esso equivalenti. Ma probabilmente tu intendevi qualcos'altro
No, no, hai ragione tu. L'essere fondati inferiormente è una proprietà forte... io pensavo erroneamente che tu volessi dimostrare che se in un poset (=partially ordered set) ogni catena ha un minorante, allora esiste un elemento minimale...
...il che sarebbe sostanzialmente il duale del lemma di Zorn, se non sbaglio 
Sì. Infatti era quello che suggerivo per la dimostrazione.
Naturalmente, la teoria deve essere autoduale per garantire che se è vero un risultato, allora è vero anche il suo duale.
Naturalmente, la teoria deve essere autoduale per garantire che se è vero un risultato, allora è vero anche il suo duale.
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