Ordine sottogruppo di torsione

[celeste4]

Ciao a tutti, sto cercando di capire la dimostrazione di un teorema (sulla periodicità dell'omologia dei rivestimenti ramificati) in cui si utilizza il seguente fatto:
data una matrice di presentazione per un gruppo abeliano (quindi per un $ZZ$-modulo) l'ordine del suo sottogruppo di torsione è un multiplo positivo del massimo comun divisore delle entrare della matrice.

Qualcuno sa spiegarlo o sa su che libro potrei guardare?

Grazie in anticipo,
Celeste

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Una curiosità: cosa intendi con "matrice di presentazione di un gruppo abeliano"? Io ho sempre sentito parlare di matrici relative a gruppi abeliani finitamente generati e liberi. Per esempio quale sarebbe per te la matrice di presentazione di $C_4 xx C_2$?

[celeste4]

Per i moduli possiamo definite una matrice di presentazione Sia $R$ un anello, e $A$ un $R$-modulo. Allora abbiamo una sequenza esatta [tex]$F_2 \xrightarrow{\delta} F_1 \xrightarrow{\nu} A \rightarrow 0$[/tex] dove $F_1$, $F_2$ sono $R$-moduli liberi con basi $\{x_j\}$ e $\{r_i\}$. Una matrice $M=(m_{ij})$, con $m_{ij} \in R$ è una matrice di presentazione per $A$ come $R$-modulo se, per una sequenza esatta del tipo descritto, $M$ rappresenta $\delta$ rispetto alle basi $\{x_j\}$ e $\{r_i\}$, cioè $\delta(r_i) = \sum_i m_{ij}x_j$ per ogni $j$.
Se $R=ZZ$, $A$ è un gruppo abeliano.
Se $A$ è finitamente generato e $R$ è Noetheriano, allora $A$ ha una matrice di presentazione finita.

[celeste4]

Purtroppo non so dirti di più perché non trovo un testo da cui approfondire..

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Quello che ricordo è questo: se $H$ è un sottogruppo di $ZZ^n$ allora è libero di rango $m le n$. L'ordine del quoziente $ZZ^n//H$ è finito se e solo se $m=n$, e in tal caso coincide col modulo del determinante di una qualsiasi matrice che ha come colonne gli elementi di una base di $H$ scritti usando una fissata base di $ZZ^n$.

Per esempio se $H=<(1,5),(2,2)> le ZZ^2$ allora $ZZ^2//H$ ha ordine 8.

Mi sembra che questo c'entri con quello che dici.

[NightKnight1]

Credo che si debba richiedere che l'anello $R$ sia un PID, altrimenti non è detto che sottomodulo di libero sia libero.

Comunque, credo che la questione abbia a che fare con la forma normale di Smith. Un libro che potresti consultare è "Mines, Richman, Ruitenburg - A Course in Constructive Algebra".

[celeste4]

Sì, si dovrebbe richiedere che R sia un PID, però ragionando con il fatto che $\ZZ$ è un dominio a fattorizzazione unica, il discorso si può estendere con le dovute cautele...lunedì vedo se in biblioteca c'è quel libro, grazie dell'indicazione!
...e con questo spiraglio verso la soluzione del mio dilemma modulistico, buonanotte