Ordine sottogruppo

[milos144]

In $S_5$ il sottogruppo $H=<(1234),(25)(34)>$ quanti elementi ha. C'é una formula? Io ho visto che si calcola il mcm, ma non mi tornano i conti. Grazie

[algibro]

"milos144":In $S_5$ il sottogruppo $H=<(1234),(25)(34)>$ quanti elementi ha. C'é una formula? Io ho visto che si calcola il mcm, ma non mi tornano i conti. Grazie

Come prima cosa ragionerei in questo modo.
Se $h$ è una permutazione di $S_5$ sai che l'ordine di $h$ è pari al minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti che fattorizzano $h$.
Per comodità chiamo $ \alpha = (1 2 3 4) = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),( 2 , 3 , 4 , 1 , 5 ) ) $.
Osservo che $\alpha$ non si scompone in cicli disgiunti, pertanto l'ordine di $\alpha$ è $4$, infatti $\alpha^4=id$.
Ora se $\beta = ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ),( 1 , 5 , 4 , 3 , 2 ) )= (2 5) \circ (3 4)$. Qui ho due scambi dunque l'ordine di $\beta$ è $2$.

[milos144]

Intanto grazie per la risposta. Ma qui se calcolo il $mcm= 4$, ma non é assolutamente vero che il gruppo é composto da quattro elementi. Pensavo ci fosse un metodo per ottenere il numero.