Ordine di $x*y$ in un gruppo

[jinsang]

Salve a tutti.

Qualcuno sa dirmi se questo fatto è vero (magari fornendo una dimostrazione o un riferimento)?

Sia $(G,*)$ un gruppo abeliano.
Sia $a in G$ tale che $o(a)=n$ e sia $b in G$ tale che $o(b)=m$.

Allora $(m,n)=1 \Rightarrow o(a*b)=n*m$

Grazie a chi risponderà

[vict85]

È vero, in generale è sufficiente che commutino i due elementi. Ti basta riordinare gli elementi.

[jinsang]

Quello che è sicuramente vero (e facile da dimostrare) è che

$o(a*b)|o(a)*o(b)$

e per questo basta riordinare gli elementi come dici tu, cioè:

$m=o(a)$ , $n=o(b)$
$(a*b)^(m*n)=a^(m*n)*b^(m*n)=e$ dove $e$ è l'elemento neutro.

Però così non ho dimostrato che $o(a*b)=m*n$ giusto?

Perdonami se ho detto delle cavolate.