Ordine di un sottogruppo di un gruppo ciclico

[Plepp]

Come dimostrereste che se $G = $ e se $H=$ allora si ha
\[|\langle g^n\rangle|=o(g^n)=\dfrac{o(g)}{\text{MCD}(n,o(g))}\tag{P}\]
? (ovviamente parlo della seconda uguaglianza). Non mi pare tanto tanto immediata come cosa

Io ho fatto così:

Si ha
\[
o(g^n)=\min\{i>0\, |\, g^{in}=1_G\}=\min\{i>0\,|\,in\equiv 0\mod o(g)\}=\]
\[=\dfrac{\text{mcm}(n,o(g))}{n}=\dfrac{ \dfrac{o(g)\cdot n}{\text{MCD}(n,o(g))} }{n}\]
che è la $(\text{P})$.

[Kashaman]

Ci provo. Sia $G$ un gruppo ciclico e sia $g^j \in G$.
Voglio trovare il piu piccolo intero $n$ positivo tale che si abbia $(g^j)^n=g^(jn)=1_G=g^0$ (1)
Poiché $g$ è un elemento periodico, vale (1) se e solo $jn-=0(modo(g))$ (2)
Posto $d=G.C.D(j,n)$ e $j/d=\phi$ si ha che (2) equivale a
$\phi n -=0(mod (o(g))/(d))$ cioé $n-=0(mod((o(g))/d) => n \in { x=((o(g))/d)*k | k>0,k \in ZZ}=M$
dunque $o(g^j)=minM=((o(g))/d)$.

Ti convince?

[Plepp]

Sì sì, molto raffinato Thanks