Ordine di un elemento in gruppo moltiplicativo
Ciao! Ho svolto questo esercizio ma non sono sicuro sia giusto
(1) Notiamo che gli zeri del polinomio sono complessi dunque esso è irriducibile su $K$ e quindi $F$ è un campo.
Si ha $f=x^2+x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2-2=(x-1-sqrt(2))(x-1+sqrt(2))=(x+2+2sqrt(2))(x+2+sqrt(2))$
(2) $K sub F$ è un'estensione di campi di grado $[F]=deg f=dim_K F=2$, dunque una sua $K$-base è ${bar 1, bar x}$.
Allora si ha $F={bar 0, bar x, bar (2x), bar 1, bar (1+x), bar (1+2x), bar 2, bar (2+x), bar (2+2x)}$.
L'MCD tra $f$ e ogni elemento di $F$, escluso lo $bar 0$, è $1$ dunque il gruppo moltiplicativo di $F$ (ovvero l'insieme degli elementi di $F$ che sono invertibili ?) è $F\\{0}$.
L'ordine di un elemento coincide con la cardinalità dell'insieme generato da quell'elemento, dunque direi
$ = {x^0, x^1} = {bar 1, bar x}$ quindi il suo ordine è 2 ?
Si considerino $K = ZZ \/3ZZ$ e $F = K[x] \/(f)$, dove $f$ è il polinomio $f = x^2 + x + 2 ∈ K[x]$.
(1) Si scriva $f$ come prodotto di fattori lineari in $F[x]$.
(2) Si calcoli l’ordine di $α = bar x$ nel gruppo moltiplicativo $(F\\{0}, ·)$.
(1) Notiamo che gli zeri del polinomio sono complessi dunque esso è irriducibile su $K$ e quindi $F$ è un campo.
Si ha $f=x^2+x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2-2=(x-1-sqrt(2))(x-1+sqrt(2))=(x+2+2sqrt(2))(x+2+sqrt(2))$
(2) $K sub F$ è un'estensione di campi di grado $[F]=deg f=dim_K F=2$, dunque una sua $K$-base è ${bar 1, bar x}$.
Allora si ha $F={bar 0, bar x, bar (2x), bar 1, bar (1+x), bar (1+2x), bar 2, bar (2+x), bar (2+2x)}$.
L'MCD tra $f$ e ogni elemento di $F$, escluso lo $bar 0$, è $1$ dunque il gruppo moltiplicativo di $F$ (ovvero l'insieme degli elementi di $F$ che sono invertibili ?) è $F\\{0}$.
L'ordine di un elemento coincide con la cardinalità dell'insieme generato da quell'elemento, dunque direi
$
Risposte
ciao 
1)Ok, anche se non sono sicuro della correttezza della scrittura $2 + sqrt(2)$ quando sei in $\mathbb{F_9}$
2)No, l'ordine di $x$ nel gruppo moltiplicativo è il minimo intero positivo $n$ per cui $x^n = 1$[nota]e sì, se $x$ ha ordine finito allora $o(x)$ è uguale alla cardinalità del sottogruppo ciclico generato da $x$, che è ${1, x, ..., x^{o(x) - 1}}$[/nota]. inoltre, dato che $\mathbb{F_9}^**$ è un gruppo sai che $o(x) | 8$ e quindi l'ordine può essere o $1$ o $2$ o $4$ o $8$.
$1$ non può essere perché $x != 1$, $2$ non può essere perché $x$, essendo radice di $f$, soddisfa la relazione $x^2 + x + 2 = 0$ e quindi $x^2 = 2x + 1 != 1$, $4$ nemmeno può essere perché $x^4 = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x + 1 = 2x + 1 + x + 1 = 2 != 1$ dunque deve essere necessariamente $o(x) = 8$.
Un altro modo di risolverlo è calcolare tutte le potenze positive di $x$ e fermarsi quando viene $1$: $x$ è una radice di $f$ quindi sai che $x^2 + x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2x + 1$, sfruttando questa relazione puoi calcolare le potenze di $x$:
$x^3 = 2x^2 + x = 2(2x + 1) + x = 5x + 2 = 2x + 2$,
$x^4 = 2x^2 + 2x = 2(2x + 1) + 2x = 6x + 2 = 2$,
$x^5 = 2x$,
$x^6 = 2x^2 = 2(2x + 1) = x + 2$,
$x^7 = x^2 + 2x = 2x + 1 + 2x = x+1$,
$x^8 = x^2 + x = 2x + 1 + x = 1$ quindi l'ordine di $x$ è $8$.
Se invece sai che il polinomio è primitivo allora l'ordine della radice coincide con quello del gruppo.
1)Ok, anche se non sono sicuro della correttezza della scrittura $2 + sqrt(2)$ quando sei in $\mathbb{F_9}$
2)No, l'ordine di $x$ nel gruppo moltiplicativo è il minimo intero positivo $n$ per cui $x^n = 1$[nota]e sì, se $x$ ha ordine finito allora $o(x)$ è uguale alla cardinalità del sottogruppo ciclico generato da $x$, che è ${1, x, ..., x^{o(x) - 1}}$[/nota]. inoltre, dato che $\mathbb{F_9}^**$ è un gruppo sai che $o(x) | 8$ e quindi l'ordine può essere o $1$ o $2$ o $4$ o $8$.
$1$ non può essere perché $x != 1$, $2$ non può essere perché $x$, essendo radice di $f$, soddisfa la relazione $x^2 + x + 2 = 0$ e quindi $x^2 = 2x + 1 != 1$, $4$ nemmeno può essere perché $x^4 = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x + 1 = 2x + 1 + x + 1 = 2 != 1$ dunque deve essere necessariamente $o(x) = 8$.
Un altro modo di risolverlo è calcolare tutte le potenze positive di $x$ e fermarsi quando viene $1$: $x$ è una radice di $f$ quindi sai che $x^2 + x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2x + 1$, sfruttando questa relazione puoi calcolare le potenze di $x$:
$x^3 = 2x^2 + x = 2(2x + 1) + x = 5x + 2 = 2x + 2$,
$x^4 = 2x^2 + 2x = 2(2x + 1) + 2x = 6x + 2 = 2$,
$x^5 = 2x$,
$x^6 = 2x^2 = 2(2x + 1) = x + 2$,
$x^7 = x^2 + 2x = 2x + 1 + 2x = x+1$,
$x^8 = x^2 + x = 2x + 1 + x = 1$ quindi l'ordine di $x$ è $8$.
Se invece sai che il polinomio è primitivo allora l'ordine della radice coincide con quello del gruppo.
Grazie Shocker! Non sapevo di questa definizione di ordine nel gruppo moltiplicativo, e guardando nelle dispense del prof pare non ce ne sia traccia, chissà.
Ma il polinomio dell'esercizio non è primitivo perché ad esempio posso riscriverlo come $-2x^2-2x+2$ e quindi i coefficienti non sono coprimi in quanto il loro mcd è diverso da 1 ?
Ma il polinomio dell'esercizio non è primitivo perché ad esempio posso riscriverlo come $-2x^2-2x+2$ e quindi i coefficienti non sono coprimi in quanto il loro mcd è diverso da 1 ?
"Rabelais":
Grazie Shocker! Non sapevo di questa definizione di ordine nel gruppo moltiplicativo, e guardando nelle dispense del prof pare non ce ne sia traccia, chissà.
Ma il polinomio dell'esercizio non è primitivo perché ad esempio posso riscriverlo come $-2x^2-2x+2$ e quindi i coefficienti non sono coprimi in quanto il loro mcd è diverso da 1 ?
Strano, comunque la defizione di ordine è sempre quella anche in un gruppo additivo, cambia solo la notazione: invece di $x^n = 1$ hai $nx = 0$
No qui per polinomio primitivo s'intende che una sua radice genera il gruppo moltiplicativo del suo campo finito di spezzamento. Per esempio $x^2 + x + 2$ è primitivo in $\mathbb{Z_3}$ perché una sua radice genera il gruppo $\mathbb{F_9^**}$
Ah no adesso l'ho trovata! Non era nella definizione ma in una osservazione, forse per quello non l'avevo mai vista, che figuraccia! Qua comunque dice anche che:
Se $(G, *)$ è un gruppo finito di ordine $n$ e $a in G$, allora $o(a)$ divide $n$ e quindi $a^n=1$.
Ma allora da questo corollario del teorema di lagrange deduco che ogni elemento di un gruppo finito con $n$ elementi ha ordine $n$
ah però non è detto che quell'$n$ sia il minimo intero per cui valga l'identità.
Se $(G, *)$ è un gruppo finito di ordine $n$ e $a in G$, allora $o(a)$ divide $n$ e quindi $a^n=1$.
Ma allora da questo corollario del teorema di lagrange deduco che ogni elemento di un gruppo finito con $n$ elementi ha ordine $n$
ah però non è detto che quell'$n$ sia il minimo intero per cui valga l'identità.
"Rabelais":
Ma allora da questo corollario del teorema di lagrange deduco che ogni elemento di un gruppo finito con $n$ elementi ha ordine $n$
Esatto
prendi $(Z_4, +)$, se prendi in considerazione $[2]_4$ hai che $[4]_4*[2]_4 = 0$ in $Z_4$ ma l'ordine di $[2]_4$ è $2$, non quattro. Sicuramente sai che se $G$ è finito allora l'ordine di un suo elemento divide l'ordine di un gruppo ma non è detto che coincida con quest'ultimo.
Si appunto! Grazie di aver risolto!
Ma perché dici che non sei sicuro della scrittura $2+sqrt(2)$ ?
Ma perché dici che non sei sicuro della scrittura $2+sqrt(2)$ ?
"Rabelais":
Si appunto! Grazie di aver risolto!
Ma perché dici che non sei sicuro della scrittura $2+sqrt(2)$ ?
Mi preoccupa il senso di $\sqrt(2)$ in $\mathbb{F_{9}}$, cioè non so se è formalmente corretto scrivere "radice di qualcosa" nel campo preso in considerazione. Aspetterei però i pareri degli utenti più esperti
Ah capisco, però non saprei in che altro modo si possa scomporre $f$
"Rabelais":
Ah capisco, però non saprei in che altro modo si possa scomporre $f$
Fra gli elementi di $\mathbb{F_9}$ si scopre che $x$ e $2x+2$ sono radici di $f$, quindi posto $\alpha = x$, $f$ si scompone come $(x-\alpha)(x-2\alpha-2) = (x-\alpha)(x+\alpha+1)$
Scusa ma in che senso x e 2x+2 sono radici di f ?
Siano [tex]F=\mathbb{F}_3[/tex], $I=(x^2+x+2)$ e $K=F[x]//I$. $K$ è un campo perché $x^2+x+2$ è irriducibile in $F[x]$. Definisci $alpha = x+I in K$. Allora $alpha$ è una radice del polinomio $y^2+y+2$ (ho usato $y$ per non confonderlo con $x$ che è un'altra cosa). Quindi $alpha^2+alpha+2 = 0$, in altre parole $alpha^2 = 2 alpha+1$. Questa è teoria.
Ora, se applichi Ruffini alla radice $alpha$ di $y^2+y+2$ (in altre parole se fai la divisione con resto di $y^2+y+2$ per $y-alpha$) ottieni $y^2+y+2 = (y-alpha)(y+alpha+1)$.
Ora, se applichi Ruffini alla radice $alpha$ di $y^2+y+2$ (in altre parole se fai la divisione con resto di $y^2+y+2$ per $y-alpha$) ottieni $y^2+y+2 = (y-alpha)(y+alpha+1)$.
Penso di aver capito, tranne, in che senso $alpha=x+I=x^2+2x+2$ è una radice di $y^2+y+2$ ?
Non ci siamo capiti. Riscrivo meglio.
Sia $F$ il campo con tre elementi. Sia $K = F[x]//I$ dove $I$ è un ideale di $F[x]$. Per la precisione $I$ è l'ideale di $F[x]$ generato da $P(x) = x^2+x+2$, e la notazione usuale è $I = (x^2+x+2)$. Gli elementi di $K=F[x]//I$ sono classi modulo $I$. In altre parole gli elementi di $K=F[x]//I$ sono cose del tipo $Q(x)+I$ dove $Q(x) in F[x]$. La somma e il prodotto in $K$ sono le usuali operazioni in un anello quoziente: detto $A = F[x]$ e dati $a,b in A$ abbiamo
$(a+I)+(b+I) = a+b+I$
$(a+I)(b+I) = ab+I$
Ora, nel caso particolare in esame $I = (x^2+x+2)$. Gli elementi di $K$ sono rappresentati da elementi di grado al massimo $1$, in altre parole
$K = \{0+I,1+I,2+I,x+I,x+1+I,x+2+I,2x+I,2x+1+I,2x+2+I\}$
Siccome questa notazione è pesantina, uno di solito definisce $alpha = x+I$ (la classe di $x$ modulo l'ideale $I$) cosicché con abuso di notazione gli elementi di $K = F[x]//I$ possono essere descritti in questo modo:
$K = \{0,1,2,alpha,alpha+1,alpha+2,2 alpha, 2 alpha+1, 2 alpha+2\}$
Ora se fai il conto $alpha^2+alpha+2$ ottieni $(x+I)^2+(x+I)+2$ e per definizione di operazioni nel quoziente questo è uguale a $x^2+x+2+I$ che è uguale a $I$ (cioè l'elemento $0$ nel quoziente) poiché $x^2+x+2 in I$. Questo dimostra che $alpha^2+alpha+2 = 0$ in $K$.
Il fatto che $alpha^2+alpha+2=0$ si traduce dicendo che $alpha$ è una radice del polinomio $y^2+y+2$. Qui uso $y$ per non usare $x$ (se usassi $x$ farei confusione perché ho già usato $x$ in precedenza per definire $alpha$).
Sia $F$ il campo con tre elementi. Sia $K = F[x]//I$ dove $I$ è un ideale di $F[x]$. Per la precisione $I$ è l'ideale di $F[x]$ generato da $P(x) = x^2+x+2$, e la notazione usuale è $I = (x^2+x+2)$. Gli elementi di $K=F[x]//I$ sono classi modulo $I$. In altre parole gli elementi di $K=F[x]//I$ sono cose del tipo $Q(x)+I$ dove $Q(x) in F[x]$. La somma e il prodotto in $K$ sono le usuali operazioni in un anello quoziente: detto $A = F[x]$ e dati $a,b in A$ abbiamo
$(a+I)+(b+I) = a+b+I$
$(a+I)(b+I) = ab+I$
Ora, nel caso particolare in esame $I = (x^2+x+2)$. Gli elementi di $K$ sono rappresentati da elementi di grado al massimo $1$, in altre parole
$K = \{0+I,1+I,2+I,x+I,x+1+I,x+2+I,2x+I,2x+1+I,2x+2+I\}$
Siccome questa notazione è pesantina, uno di solito definisce $alpha = x+I$ (la classe di $x$ modulo l'ideale $I$) cosicché con abuso di notazione gli elementi di $K = F[x]//I$ possono essere descritti in questo modo:
$K = \{0,1,2,alpha,alpha+1,alpha+2,2 alpha, 2 alpha+1, 2 alpha+2\}$
Ora se fai il conto $alpha^2+alpha+2$ ottieni $(x+I)^2+(x+I)+2$ e per definizione di operazioni nel quoziente questo è uguale a $x^2+x+2+I$ che è uguale a $I$ (cioè l'elemento $0$ nel quoziente) poiché $x^2+x+2 in I$. Questo dimostra che $alpha^2+alpha+2 = 0$ in $K$.
Il fatto che $alpha^2+alpha+2=0$ si traduce dicendo che $alpha$ è una radice del polinomio $y^2+y+2$. Qui uso $y$ per non usare $x$ (se usassi $x$ farei confusione perché ho già usato $x$ in precedenza per definire $alpha$).
Scusa per la mia incomprensione iniziale, ora sei stato chiarissimo grazie mille Martino!
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