Ordine di un elemento del gruppo quoziente

[RattoPazzo]

Ciao a tutti, volevo chiedere un aiuto su un esercizio dell'Herstein che mi ha lasciato piuttosto dubbioso. Il testo dell'esercizio è il seguente: Se $N$ è un sottogruppo normale di un gruppo $G$ e $a in G$ ha ordine $o(a)$, dimostrare che l'ordine $m$ di $Na in G \/ N$ è un divisore di $o(a)$. Banalmente, pensavo che essendo $N$ normale in $G$, l'insieme $G \/ N$ dei laterali di $N$ con l'operazione di moltiplicazione tra sottoinsiemi di $G$ è un gruppo. L'elemento neutro del gruppo è $Ne = N$, infatti per ogni $Na in G \/ N$ si ha che $NaN = N(aN) = N*Na = Na$. L'ordine di $Na$ è quindi quel $d$ tale che $(Na)^d = N$. Ma $(Na)^d = Na*Na*...*Na$ ripetuto $d$ volte, che è uguale a $N*a^d$. Quindi pensavo fosse sufficiente dire che $d$ deve essere uguale ad $o(a)$, e di conseguenza $o(Na) = o(a)$. Ovviamente se l'uguaglianza fosse corretta $o(Na)$ dividerebbe $o(a)$, ma non sono per niente sicuro di averci preso.

[Martino]

Pensa al caso $N=G$. In questo caso $Na$ ha ordine $1$ indipendentemente dall'ordine di $a$.

[hydro1]

"Paz":Ma $(Na)^d = Na*Na*...*Na$ ripetuto $d$ volte, che è uguale a $N*a^d$. Quindi pensavo fosse sufficiente dire che $d$ deve essere uguale ad $o(a)$, e di conseguenza $o(Na) = o(a)$.

Questo passaggio logico non ha senso, perchè $Na^d=N$ se e solo se $a^d\in N$.

Quello che ha senso invece è che esiste \(\varphi: G\to G/N\) omomorfismo, quindi se $a^d=1$ in $G$ allora $N=\varphi(1)=\varphi(a^d)=\varphi(a)^d$, quindi l'ordine di $\varphi(a)$ deve dividere $d$.

[luca691]

"hydro":Quello che ha senso invece è che esiste \(\varphi: G\to G/N\) omomorfismo, quindi se $a^d=1$ in $G$ allora $N=\varphi(1)=\varphi(a^d)=\varphi(a)^d$, quindi l'ordine di $\varphi(a)$ deve dividere $d$.

Certo. Tuttavia, nell'Herstein il capitolo "Omomorfismi" segue quello ("Sottogruppi normali e gruppi quoziente") in cui viene proposto l'esercizio.
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Se $a\in N$, allora $Na=N$ e banalmente $m=1|o(a)$. Supponiamo ora $a\notin N$. L'ordine di $Na$ nel gruppo quoziente $G//N$ è il più piccolo intero positivo $m$ tale che $a^m\in N$. Poiché in generale $H\le G$, $a\in H$, $b\notin H$ implica $ab\notin H$ (infatti diversamente avremmo \(H\ni a^{-1}(ab)=(a^{-1}a)b=b\), contraddizione), abbiamo che \(a^i\in N\iff i=km\) per qualche intero $k$: infatti, \(a^{km}\in N\) (perchè $a^m\in N$), mentre \(a^r\notin N\) per \(r=1,\dots.m-1\) (perchè $m$ è il più piccolo ecc.); pertanto, $a^{km+r}\in N$, con $0\le r\le m-1$, implica necessariamente $r=0$. Quindi, poichè $1=a^{o(a)}\in N$, segue che $\exists \tilde k$ intero tale che $o(a)=\tilde km$, ovvero $m|o(a)$.