Ordine di un elemento

[Seldon1]

ragazzi in attesa dell'inizio delle lezioni del secondo anno sto cominciando a vedere qualcosa del programma di algebra(nella mia facoltà la si fa la secondo anno). volevo chiedervi una cosa che nelle slide su cui sto studiando è "lasciata al lettore":l'ordine o periodo di un elemento "a" dato un gruppo additivo ad esempio G,+ è il minimo intero positivo n se esiste tale che na=0,giusto? perchè nell'esempio mi riporta un gruppo moltiplicativo G,* e la legge è a^n=1...

[Kashaman]

Si.
Dipende dalla notazione che usi. Guarda qui
Se consideri $(G,+)$ e $g in G$periodico allora $o(g)=min{n in ZZ , n>0 | ng=0}$ (cosa ci permette di dire che quell'insieme è non vuoto e che ammette minimo?)
Se consideri $(G,*)$ e $g in G$ periodico allora $o(g)=min{n in ZZ , n >0 | g^n=1_G}$

[Seldon1]

grazie mille,cmq intendevo intendevo nella prima notazione

[Seldon1]

inoltre l'insieme dovrebbe contenere almeno l'elemento neutro della somma e quindi non dovrebbe essere vuoto..

[Kashaman]

attenzione! $0_G$ non appartiene all'insieme, l'insieme è composto da tutti gli $n$ interi non negativi tali che...!
Dalle dispense che ti ho segnalato, il lemma 17.12
ti assicura che questo insieme ${n in ZZ , n >0 | ng=0}$ (rispettivamente l'altro se usi la notazione moltiplicativa )è non vuoto. Inoltre è un sottoinsieme di $NN$ e puoi applicare il principio del minimo

ATTENZIONE : sul post precedente, la seconda si riferisce a un gruppo moltiplicativo. Provvedo a correggere.

[Seldon1]

sisi adesso è tutto chiaro