Ordine di gruppi di matrici.
La questione non è affatto semplice, perchè non so davvero dove mettere le mani!
So solo che gli strumenti che ho a disposizione riguardo la teoria dei gruppi sono molti, tra cui la nozione di azione di gruppi, e il teorema di Sylow. Ipotizzo, visto che gli esercizi si basano su queste nuove nozioni, debbano svolgersi in questa maniera i seguente esercizio: (se avete altri metodi ben venga illustrarli! ^^)
1] Sia $p$ un primo, e sia $n >= 1, n in Z$. Determinare gli ordini dei gruppi $GL_N(Z_P), SL_N(Z_P), PGL_N(Z_P), PSL_N(Z_P)$
Dò la definizione dei gruppi:
$GL_n(Z_p)$ è il gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili con $n$ righe e colonne, i cui coefficienti sono presi nel campo $Z_p$, che è il campo delle congruenze modulo $p$.
$SL_n(Z_p)$ è il gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili con determinante 1, per la costruzione del gruppo approfondisco dopo se ce n'è bisogno.
$PGL_n(Z_p)$ è il gruppo quoziente $(GL_n(Z_p))/N$ dove $N$ è il sottogruppo normale comprendente le matrici scalari.
$PSL_n(Z_p)$ è il gruppo quoziente $(SL_n(Z_p))/(SL_n(Z_p) nn N)$ dove ovviamente l'intersezione è un sottogruppo normale.
2] Esibire un p-sottogruppo di di Sylow di $GL_2(Z_p)$ e di $GL_n(Z_p)$
(questo mi metterei a provarlo appena conosco l'ordine di questi gruppi! >.<)
3] Sia p il nostro solito numero primo.
A) dimostrare che il centro di un gruppo finito di ordine una potenza di p non sia banale (ovvero non contenga solamente l'elemento neutro)
B) Dimostrare che ogni gruppo di ordine $p^2$ è abeliano.
(per il 3A volevo provare per assurdo, ma non so in che direzione potrei andare a parare per provarlo..., per il 3B dovrei pensare incrociando Cauchy, Lagrange, Sylow... e poi arrivarci! ahah)
Diciamo che la parte difficili è quella di trovare gli ordini ! >.< Il resto sto ancora pensando a come fare... upperò se non ce la farò più! ahah Grazie della lettura e disponibilità!
So solo che gli strumenti che ho a disposizione riguardo la teoria dei gruppi sono molti, tra cui la nozione di azione di gruppi, e il teorema di Sylow. Ipotizzo, visto che gli esercizi si basano su queste nuove nozioni, debbano svolgersi in questa maniera i seguente esercizio: (se avete altri metodi ben venga illustrarli! ^^)
1] Sia $p$ un primo, e sia $n >= 1, n in Z$. Determinare gli ordini dei gruppi $GL_N(Z_P), SL_N(Z_P), PGL_N(Z_P), PSL_N(Z_P)$
Dò la definizione dei gruppi:
$GL_n(Z_p)$ è il gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili con $n$ righe e colonne, i cui coefficienti sono presi nel campo $Z_p$, che è il campo delle congruenze modulo $p$.
$SL_n(Z_p)$ è il gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili con determinante 1, per la costruzione del gruppo approfondisco dopo se ce n'è bisogno.
$PGL_n(Z_p)$ è il gruppo quoziente $(GL_n(Z_p))/N$ dove $N$ è il sottogruppo normale comprendente le matrici scalari.
$PSL_n(Z_p)$ è il gruppo quoziente $(SL_n(Z_p))/(SL_n(Z_p) nn N)$ dove ovviamente l'intersezione è un sottogruppo normale.
2] Esibire un p-sottogruppo di di Sylow di $GL_2(Z_p)$ e di $GL_n(Z_p)$
(questo mi metterei a provarlo appena conosco l'ordine di questi gruppi! >.<)
3] Sia p il nostro solito numero primo.
A) dimostrare che il centro di un gruppo finito di ordine una potenza di p non sia banale (ovvero non contenga solamente l'elemento neutro)
B) Dimostrare che ogni gruppo di ordine $p^2$ è abeliano.
(per il 3A volevo provare per assurdo, ma non so in che direzione potrei andare a parare per provarlo..., per il 3B dovrei pensare incrociando Cauchy, Lagrange, Sylow... e poi arrivarci! ahah)
Diciamo che la parte difficili è quella di trovare gli ordini ! >.< Il resto sto ancora pensando a come fare... upperò se non ce la farò più! ahah Grazie della lettura e disponibilità!
Risposte
Ciao Simonixx.
1. Se $K$ è il campo con $p$ elementi, $GL_n(K)$ è costituito dalle matrici $n\times n$ invertibili, cioè quelle costituite da $n$ vettori colonna di lunghezza $n$ a entrate in $K$ linearmente indipendenti tra loro. Consideriamo il primo vettore colonna: esso potrà essere un qualunque vettore di $K^n$ tranne il vettore nullo, quindi abbiamo $p^n-1$ possibilità. Secondo vettore colonna: è un qualunque vettore colonna di $K^n$ che non sia un multiplo scalare del primo, quindi ci sono $p^n-p$ possibilità. In generale, il $j$-esimo vettore colonna è un qualunque vettore di $K^n$ che non sia una $K$-combinazione lineare dei primi $j-1$ vettori colonna; essendoci $p^{j-1}$ possibili $K$-combinazioni lineari, avrò $p^n-p^{j-1}$ possibilità. In tutto:
$|GL_n(K)|=\prod_{j=1}^n (p^n-p^{j-1})=(\prod_{j=1}^n p^{j-1})(\prod_{j=1}^n (p^{n-j+1}-1))=p^{\sum_{j=0}^{n-1} j}\prod_{j=1}^n (p^j-1)=p^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{j=1}^n (p^j-1)$
Per gli altri esercizi ti do dei suggerimenti:
Per l'ordine di $SL_n(K)$ considera la mappa $GL_n(K)\to K\setminus \{0\}$ ($K\setminus \{0\}$ è il gruppo moltiplicativo del campo) definita da $A\to \det(A)$: è un epimorfismo di gruppi (perché?); ora applica il primo teorema di isomorfismo di gruppi.
Per l'ordine di $PGL_n(K)$, dato che conosci l'ordine di $GL_n(K)$, ti basta sapere l'ordine del sottogruppo delle matrici scalari, cioè delle matrici $\lambda I_n$ ove $\lambda\in K\setminus \{0\}$: qual è?
Per $PSL_n(K)$, dato che conosci l'ordine di $SL_n(K)$, basta calcolare l'ordine di $SL_n(K)\cap N$: questo è il gruppo delle matrici scalari $\lambda I_n$ tali che $\det (\lambda I_n)=1$, cioè $\lambda^n=1$. Si tratta quindi di contare le radici $n$-esime dell'unità nel camp con $p$ elementi: non mi viene in mente un metodo per farlo in questo momento...
2. Per la formula vista prima per l'ordine di $GL_n(\mathbb{F}_p)$, ogni suo $p$-Sylow ha ordine $p^{\frac{n(n-1)}{2}}=p^{1+2+...+(n-1)}$. Nota che $1+2+...+(n-1)$ è il numero delle entrate di una matrice $n\times n$ che stanno sopra la diagonale. Ti suggerisce qualcosa?
Considera l'azione di coniugio sul gruppo $G$, e sia ${x_i}$ un insieme completo di rappresentanti per le classi di coniugio che non contengono elementi centrali (cioè elementi che commutano con ogni altro elemento del gruppo). Allora l'equazione delle orbite si scrive $|G|=|Z(G)|+\sum_i |G:C_G(x_i)|$: perché? ($C_G(x)$ è il centralizzante in $G$ di $x$ e $Z(G)$ è il centro del gruppo). Detto questo, supponi per assurdo che $|Z(G)|=1$, arriverai a un assurdo...
Devi dimostrare che $Z(G)=G$. Usa il teorema di Lagrange: che ordine può avere $Z(G)$? Per il risultato precedente, puoi già escludere un caso. Poi procedi ancora per assurdo.
1. Se $K$ è il campo con $p$ elementi, $GL_n(K)$ è costituito dalle matrici $n\times n$ invertibili, cioè quelle costituite da $n$ vettori colonna di lunghezza $n$ a entrate in $K$ linearmente indipendenti tra loro. Consideriamo il primo vettore colonna: esso potrà essere un qualunque vettore di $K^n$ tranne il vettore nullo, quindi abbiamo $p^n-1$ possibilità. Secondo vettore colonna: è un qualunque vettore colonna di $K^n$ che non sia un multiplo scalare del primo, quindi ci sono $p^n-p$ possibilità. In generale, il $j$-esimo vettore colonna è un qualunque vettore di $K^n$ che non sia una $K$-combinazione lineare dei primi $j-1$ vettori colonna; essendoci $p^{j-1}$ possibili $K$-combinazioni lineari, avrò $p^n-p^{j-1}$ possibilità. In tutto:
$|GL_n(K)|=\prod_{j=1}^n (p^n-p^{j-1})=(\prod_{j=1}^n p^{j-1})(\prod_{j=1}^n (p^{n-j+1}-1))=p^{\sum_{j=0}^{n-1} j}\prod_{j=1}^n (p^j-1)=p^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{j=1}^n (p^j-1)$
Per gli altri esercizi ti do dei suggerimenti:
Per l'ordine di $SL_n(K)$ considera la mappa $GL_n(K)\to K\setminus \{0\}$ ($K\setminus \{0\}$ è il gruppo moltiplicativo del campo) definita da $A\to \det(A)$: è un epimorfismo di gruppi (perché?); ora applica il primo teorema di isomorfismo di gruppi.
Per l'ordine di $PGL_n(K)$, dato che conosci l'ordine di $GL_n(K)$, ti basta sapere l'ordine del sottogruppo delle matrici scalari, cioè delle matrici $\lambda I_n$ ove $\lambda\in K\setminus \{0\}$: qual è?
Per $PSL_n(K)$, dato che conosci l'ordine di $SL_n(K)$, basta calcolare l'ordine di $SL_n(K)\cap N$: questo è il gruppo delle matrici scalari $\lambda I_n$ tali che $\det (\lambda I_n)=1$, cioè $\lambda^n=1$. Si tratta quindi di contare le radici $n$-esime dell'unità nel camp con $p$ elementi: non mi viene in mente un metodo per farlo in questo momento...
2. Per la formula vista prima per l'ordine di $GL_n(\mathbb{F}_p)$, ogni suo $p$-Sylow ha ordine $p^{\frac{n(n-1)}{2}}=p^{1+2+...+(n-1)}$. Nota che $1+2+...+(n-1)$ è il numero delle entrate di una matrice $n\times n$ che stanno sopra la diagonale. Ti suggerisce qualcosa?
A) dimostrare che il centro di un gruppo finito di ordine una potenza di p non sia banale (ovvero non contenga solamente l'elemento neutro)
Considera l'azione di coniugio sul gruppo $G$, e sia ${x_i}$ un insieme completo di rappresentanti per le classi di coniugio che non contengono elementi centrali (cioè elementi che commutano con ogni altro elemento del gruppo). Allora l'equazione delle orbite si scrive $|G|=|Z(G)|+\sum_i |G:C_G(x_i)|$: perché? ($C_G(x)$ è il centralizzante in $G$ di $x$ e $Z(G)$ è il centro del gruppo). Detto questo, supponi per assurdo che $|Z(G)|=1$, arriverai a un assurdo...
B) Dimostrare che ogni gruppo di ordine $p^2$ è abeliano.
Devi dimostrare che $Z(G)=G$. Usa il teorema di Lagrange: che ordine può avere $Z(G)$? Per il risultato precedente, puoi già escludere un caso. Poi procedi ancora per assurdo.
Grazie moltissime! Ho letto per ora solo il primo esercizio, ed è spiegato in maniera molto chiara! ^^
Ora mi metto a fare gli altri con i tuoi suggerimenti!
Ora mi metto a fare gli altri con i tuoi suggerimenti!
Il ragionamento per l'ordine di $PSL_n(z_P)$ potrebbe essere questo: in $Z_p - {0}$ ogni elemento ha ordine p a parte l'elemento neutro 1. Allora possiamo dire che a risolvere quell'equazione sono solamente gli elementi che hanno ordine $n$. Ovviamente nessuno elemento ha ordine $n$ o comunque risulta essere 1 se elevato alla $n$ a meno che $n = k*p$ dove k è un intero! Nel caso non lo sia, l'unico scalare che soddisfa l'equazione è 1. Invece nel caso che sia un multiplo del primo p, ogni elemento potrà soddisfare $c^n = 1$
Può andare? (ho utilizzato Lagrange per il fatto che l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo...)
Può andare? (ho utilizzato Lagrange per il fatto che l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo...)
Scusa ma non ho capito molto di quello che hai scritto (sarà anche l'ora 
)!
Mi sembra che tu stia confondendo il periodo di un elemento di $\mathbb{Z}_p$ come gruppo ciclico additivo, con il periodo di un elemento di $\mathbb{F}_p\setminus \{0\}$ come gruppo moltiplicativo del campo (il campo con p elementi).
Voglio dire: se prendi un elemento $x$ in $\mathbb{Z}_p$ (gruppo ADDITIVO), per il teorema di Lagrange l'ordine di $x$ è $1$ o $p$; quindi se $x\ne 1$, l'ordine è p. Invece il gruppo moltiplicativo del campo con p elementi, ovvero $\mathbb{Z}_p\setminus \{0\}$ come gruppo MOLTIPLICATIVO, ha ordine $p-1$ e non $p$, quindi nessun elemento ha ordine $p$ (sempre per Lagrange). Ad esempio nel gruppo moltiplicativo di $\mathbb{Z}_7$, $2^3=1$ e $3$ è proprio l'ordine dell'elemento $2$.
)!Mi sembra che tu stia confondendo il periodo di un elemento di $\mathbb{Z}_p$ come gruppo ciclico additivo, con il periodo di un elemento di $\mathbb{F}_p\setminus \{0\}$ come gruppo moltiplicativo del campo (il campo con p elementi).
Voglio dire: se prendi un elemento $x$ in $\mathbb{Z}_p$ (gruppo ADDITIVO), per il teorema di Lagrange l'ordine di $x$ è $1$ o $p$; quindi se $x\ne 1$, l'ordine è p. Invece il gruppo moltiplicativo del campo con p elementi, ovvero $\mathbb{Z}_p\setminus \{0\}$ come gruppo MOLTIPLICATIVO, ha ordine $p-1$ e non $p$, quindi nessun elemento ha ordine $p$ (sempre per Lagrange). Ad esempio nel gruppo moltiplicativo di $\mathbb{Z}_7$, $2^3=1$ e $3$ è proprio l'ordine dell'elemento $2$.
Giusto! L'ordine è $(p-1)$ non $p$ ma credo comunque che il ragionamento sia analogo, ovvero $n$ deve essere multiplo di $(p-1)$affinchè i nostri scalari siano $m$ diano $m^n = 1$, sennò sarà solo l'1 a soddisfare l'equazione, no?
Poi volevo chiederti: quale formula intendi per "equazione delle orbite"? Magari non la conosco, magari cerco di dimostrarla, ecc. perchè per quello che ne so ci sono la formula di Burnside e una formula che dice che la cardinalità del gruppo è pari al prodotto della cardinalità di un orbita per la cardinalità dello stabilizzatore (e questo vale per ogni elemento del gruppo su cui si agisce).
EDIT: Ok. Ci sono arrivato. Non capivo l'equazione, ma visto che hai svolto le classi di coniugio per i soli elementi non appartenenti al centro poi ho capito il significato della sommatoria e di tutto il resto...
Poi volevo chiederti: quale formula intendi per "equazione delle orbite"? Magari non la conosco, magari cerco di dimostrarla, ecc. perchè per quello che ne so ci sono la formula di Burnside e una formula che dice che la cardinalità del gruppo è pari al prodotto della cardinalità di un orbita per la cardinalità dello stabilizzatore (e questo vale per ogni elemento del gruppo su cui si agisce).
EDIT: Ok. Ci sono arrivato. Non capivo l'equazione, ma visto che hai svolto le classi di coniugio per i soli elementi non appartenenti al centro poi ho capito il significato della sommatoria e di tutto il resto...
"Simonixx":
Giusto! L'ordine è $(p-1)$ non $p$ ma credo comunque che il ragionamento sia analogo, ovvero $n$ deve essere multiplo di $(p-1)$affinchè i nostri scalari siano $m$ diano $m^n = 1$, sennò sarà solo l'1 a soddisfare l'equazione, no?
No, l'equazione $\lambda^n=1$ in $K\setminus\{0\}$ è soddisfatta sse $o(\lambda)|n$, condizione più debole di $(p-1)|n$: se $(p-1)|n$, certamente $o(\lambda)|n$ (per Lagrange), ma non vale il viceversa. Controesempio (quello che facevo ieri): in $\mathbb{Z}_7$ $\lambda^3=1$ è soddisfatta per $\lambda=2$; secondo il tuo ragionamento invece l'equazione dovrebbe avere solo soluzione $1$ perché $3$ non divide $p-1=7-1=6$.
L'ordine di $SL_n(ZZ_p)$ allora dovrebbe essere uguale all' $|(GL_n(ZZ_p))|/|"Im"f|$ cioè $((p^n-1)....(p^n-p^(n-1)))/(p-1)$. Si può mica semplificare la scrittura?Oppure è proprio questo il punto di arrivo?Grazie....
Giusto. Volendo puoi semplificare notando che $(p-1)(p^{n-1}+p^{n-2}+...+1)=p^n-1$. Questo giustifica anche "a posteriori" il fatto che l'ordine del gruppo sia un numero naturale, come deve essere.
Grazie mille....
! Molto gentile..
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