Ordine degli elementi di un gruppo

[ale.b14]

Sia $G$ un gruppo (non necessariamente finito) e siano $a,b\inG$ tali che $o(a)=5$ e $aba^{-1}=b^2$.
Determinare $o(b)$.

Fino ad ora sono riuscito a dimostrare che se $o(b)$ è finito, allora è dispari e che $o(ab)=5$... Sono utili in qualche modo?
Chi mi dà una mano?

[perplesso1]

Ciao, ti propongo una soluzione che definirei "algoritmica". Controlla tu se ci sono eventuali errori.

Facciamo i seguenti passi:

1) $ b^2=aba^{-1} $
2) Eleviamo al quadrato $ b^4=ab^2a^{-1} $
3) Sostituiamo $b^2$ usando la 1) $ b^4=a(aba^{-1})a^{-1} = a^2ba^{-2} $
4) Eleviamo al quadrato $ b^8=a^2b^2a^{-2} $
5) Sostituiamo $b^2$ usando 1) $ b^8=a^3ba^{-3} $
6) Eleviamo alla quarta $ b^32=a^3b^4a^{-3} $
7) Sostituiamo $b^4$ usando 3) $ b^32=a^5ba^{-5} $
8) $ b^32=b \rightarrow b^31=1 $
9) Fine

E $ b $ ha periodo 31. Che ne pensi?

[ale.b14]

Che funziona!! Attenzione soltanto al fatto che, quando arrivi a $b^{31}=1$ sai solo che l'ordine di $b$ divide 31; ovvero che $b$ ha ordine 1 oppure 31 (31 è primo per fortuna!). A priori $b$ potrebbe benissimo essere l'identità!
Per il resto tutto perfetto! ti ringrazio!

[perplesso1]

Prego. Ho anche pensato che questo esercizio si potrebbe generalizzare così:

Siano $a,b \in G$ elementi di un gruppo. Se $o(a)=n >1$ e inoltre $b^m=a^{-1}ba$ con $m > 1$ allora $o(b)$ divide $ m^n-1 $

Penso si possa provare con lo stesso procedimento ma anzichè elevare al quadrato si eleva alla $m$ e si sostituisce per $n$ volte.