Ordine Automorfo
Salve, ho trovato questo esercizio a cui ho pensato ma non ho saputo risolverlo:
Determinare l'ordine di \(\displaystyle Aut(\mathbb{F}_{16}/\mathbb{F}_2) \), dove \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) è il campo finito di ordine \(\displaystyle 16=2^4\), e trovare un gruppo ad esso isomorfo.
Ho osservato che la dimensione di \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) su \(\displaystyle \mathbb{F}_2 \) è 4, e che \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) ha come sottocampo \(\displaystyle \mathbb{F}_8 \) che a sua volta contiene il campo \(\displaystyle \mathbb{F}_2 \)... ora ho pensato: dovrei ragionare sull'automorfismo di Frobenius? Cioè si può definiere l'automorfismo di Frobenius sul campo quoziente e dimostrare che esso genera \(\displaystyle Aut(\mathbb{F}_{16}/\mathbb{F}_2) \) (e di conseguenza per trovare l'ordine devo determinare l'ordine di questo automorfismo?)
E se si come lo definisco?
Determinare l'ordine di \(\displaystyle Aut(\mathbb{F}_{16}/\mathbb{F}_2) \), dove \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) è il campo finito di ordine \(\displaystyle 16=2^4\), e trovare un gruppo ad esso isomorfo.
Ho osservato che la dimensione di \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) su \(\displaystyle \mathbb{F}_2 \) è 4, e che \(\displaystyle \mathbb{F}_{16} \) ha come sottocampo \(\displaystyle \mathbb{F}_8 \) che a sua volta contiene il campo \(\displaystyle \mathbb{F}_2 \)... ora ho pensato: dovrei ragionare sull'automorfismo di Frobenius? Cioè si può definiere l'automorfismo di Frobenius sul campo quoziente e dimostrare che esso genera \(\displaystyle Aut(\mathbb{F}_{16}/\mathbb{F}_2) \) (e di conseguenza per trovare l'ordine devo determinare l'ordine di questo automorfismo?)
E se si come lo definisco?
Risposte
Non e' un campo quoziente!!! E' un'estensione di campi - non ci sono quozienti o relazioni di equivalenza. Dalla teoria dovresti sapere che $\mathbb{F}_{16}$ e' (isomorfo a) il campo di spezzamento su $\mathbb{F}_2$ del polinomio $f=x^16 - x$ e che ogni elemento di $\mathbb{F}_{16}$ e' una radice di $f$.
Senza un po' di teoremi non e' ovvio affermare che $\mathbb{F}_{16}| \mathbb{F}_{2}$ e' un'estensione di Galois. Tuttavia, il Lemma di Artin ti dice che $|Aut(\mathbb{F}_{16}| \mathbb{F}_{2})| \le [\mathbb{F}_{16}:\mathbb{F}_{2}] = 4$. Percio' se trovi $4$ elementi distinti in $Aut(\mathbb{F}_{16}| \mathbb{F}_{2})$ hai vinto. A questo punto prova a pensare che ordine ha l'automorfismo di Frobenius.
Senza un po' di teoremi non e' ovvio affermare che $\mathbb{F}_{16}| \mathbb{F}_{2}$ e' un'estensione di Galois. Tuttavia, il Lemma di Artin ti dice che $|Aut(\mathbb{F}_{16}| \mathbb{F}_{2})| \le [\mathbb{F}_{16}:\mathbb{F}_{2}] = 4$. Percio' se trovi $4$ elementi distinti in $Aut(\mathbb{F}_{16}| \mathbb{F}_{2})$ hai vinto. A questo punto prova a pensare che ordine ha l'automorfismo di Frobenius.
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