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[sradesca]

come si dimostra che in un gruppo $G$ esiste almeno un elemento t.c. $o(g)=d$ con $d||G|$? Se il gruppo è ciclico si dimostra facilmente poiché $ =G rArr a^m=1$ con $|G|=m$ e sono presenti tutti gli $a^n$ con $0

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Risposte

Paolo902

30 apr 2012, 14:22

Non credo di aver capito che cosa vuoi dimostrare. Guarda che Lagrange non si inverte, in generale; si inverte completamente nel caso dei gruppi ciclici, d'accordo, ma appunto non in generale.

Anzi, direi che il problema di "invertire" Lagrange è abbastanza delicato: vedi teoremi di Cauchy, Sylow e compagnia.

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sradesca

30 apr 2012, 14:39

devo dimostrare che dato un isomorfismo $f: G rarr H, AA d : d| |G|=|H|$, i due gruppi $|G|$ e $|H|$ hanno lo stesso numero di elementi di ordine d. Per farlo bisogna prima dimostrare che un gruppo G ha almeno un elemento di ordine d con d||G|

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Paolo902

1 mag 2012, 09:10

"simo90":Per farlo bisogna prima dimostrare che un gruppo G ha almeno un elemento di ordine d con d||G|

E ma questo è falso, come ti dicevo sopra. Per esempio, $A_4$ ha ordine 12, ma non ha nessun sottogruppo di ordine 6 (provare per credere).

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sradesca

1 mag 2012, 09:18

ho sbagliato io a capire il problema..

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sradesca

1 mag 2012, 09:25

dovrebbe essere $AA n<=|G|$ i due gruppi G H hanno lo stesso numero di elementi di ordine n..

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Studente Anonimo

1 mag 2012, 10:29

"simo90":devo dimostrare in sostanza che $G~=H rArr$ i due gruppi hanno lo stesso numero di elementi t.c. $o(g)=d$ con $d||G|$ ma mi serve la prima parte per farlo..

No non ti serve la prima parte. Due gruppi isomorfi sono "lo stesso gruppo", la sola (eventuale) differenza è che hai chiamato gli elementi con nomi diversi.

Se proprio vuoi un procedimento formale puoi chiamare [tex]X[/tex] l'insieme degli elementi di [tex]G[/tex] di ordine [tex]d[/tex] e osservare che ogni isomorfismo [tex]\varphi: G \cong H[/tex] induce una biiezione [tex]\varphi|_X : X \to \varphi(X)[/tex], quindi ti puoi mettere a dimostrare che [tex]\varphi(X)[/tex] consiste di tutti e soli gli elementi di ordine [tex]d[/tex] di [tex]H[/tex].

Ma una volta che hai interiorizzato cosa significa "gruppi isomorfi" questo procedimento formale è fatica sprecata.

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sradesca

1 mag 2012, 11:32

grazie

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[Paolo902]

Non credo di aver capito che cosa vuoi dimostrare. Guarda che Lagrange non si inverte, in generale; si inverte completamente nel caso dei gruppi ciclici, d'accordo, ma appunto non in generale.

Anzi, direi che il problema di "invertire" Lagrange è abbastanza delicato: vedi teoremi di Cauchy, Sylow e compagnia.

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devo dimostrare che dato un isomorfismo $f: G rarr H, AA d : d| |G|=|H|$, i due gruppi $|G|$ e $|H|$ hanno lo stesso numero di elementi di ordine d. Per farlo bisogna prima dimostrare che un gruppo G ha almeno un elemento di ordine d con d||G|

[Paolo902]

"simo90":Per farlo bisogna prima dimostrare che un gruppo G ha almeno un elemento di ordine d con d||G|

E ma questo è falso, come ti dicevo sopra. Per esempio, $A_4$ ha ordine 12, ma non ha nessun sottogruppo di ordine 6 (provare per credere).

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ho sbagliato io a capire il problema..

[sradesca]

dovrebbe essere $AA n<=|G|$ i due gruppi G H hanno lo stesso numero di elementi di ordine n..

[Studente Anonimo]

"simo90":devo dimostrare in sostanza che $G~=H rArr$ i due gruppi hanno lo stesso numero di elementi t.c. $o(g)=d$ con $d||G|$ ma mi serve la prima parte per farlo..

No non ti serve la prima parte. Due gruppi isomorfi sono "lo stesso gruppo", la sola (eventuale) differenza è che hai chiamato gli elementi con nomi diversi.

Se proprio vuoi un procedimento formale puoi chiamare [tex]X[/tex] l'insieme degli elementi di [tex]G[/tex] di ordine [tex]d[/tex] e osservare che ogni isomorfismo [tex]\varphi: G \cong H[/tex] induce una biiezione [tex]\varphi|_X : X \to \varphi(X)[/tex], quindi ti puoi mettere a dimostrare che [tex]\varphi(X)[/tex] consiste di tutti e soli gli elementi di ordine [tex]d[/tex] di [tex]H[/tex].

Ma una volta che hai interiorizzato cosa significa "gruppi isomorfi" questo procedimento formale è fatica sprecata.

[sradesca]

grazie