Ordinali e sottinsiemi di Q
Esercizio: trovare dei sottinsiemi di $QQ$ che siano isomorfi (con l'ordinamento naturale di $QQ$) a determinati ordinali.
Io riesco con gli ordinali:
$omega,omega+1,omega^2,omega^3,...$
Ad esempio per $omega$ prendo ${1-1/n|n in N-{0}}$, per $omega+1$ prendo quello più un punto, ad esempio {2}.
Per passare da $omega$ a $omega^2$ ad esempio ripeto $omega$ volte lo stesso insieme cioè ${m-1/n|m,n in N-{0}}.
Per passare da $omega^2$ a $omega^3$ prendo l'insieme isomorfo a $omega^2$ e ad ogni suo punto x sostituisco una successione contenuta tra il punto e il suo precedente e che si addensa su x.
Eccetera...
Non so cosa fare per ordinali più grandi tipo $omega^omega$ e $epsilon$.
So dimostrare che un sottinsieme di Q isomorfo ad essi esiste, ma non so come costruirlo esplicitamente.
Qualche suggerimento?
Grazie.
Io riesco con gli ordinali:
$omega,omega+1,omega^2,omega^3,...$
Ad esempio per $omega$ prendo ${1-1/n|n in N-{0}}$, per $omega+1$ prendo quello più un punto, ad esempio {2}.
Per passare da $omega$ a $omega^2$ ad esempio ripeto $omega$ volte lo stesso insieme cioè ${m-1/n|m,n in N-{0}}.
Per passare da $omega^2$ a $omega^3$ prendo l'insieme isomorfo a $omega^2$ e ad ogni suo punto x sostituisco una successione contenuta tra il punto e il suo precedente e che si addensa su x.
Eccetera...
Non so cosa fare per ordinali più grandi tipo $omega^omega$ e $epsilon$.
So dimostrare che un sottinsieme di Q isomorfo ad essi esiste, ma non so come costruirlo esplicitamente.
Qualche suggerimento?
Grazie.
Risposte
Sono molto di fretta, quindi non garantisco, ma prova un po' con questa idea per $\omega^\omega$.
Non dovrebbe essere difficile costruire alla tua maniera $\omega$ nel intervallo $[0,1)$, $\omega^2$ in $[1,2)$, $\omega^3$ in $[2,3)$.... Ora l'ordinale risultante dovrebbe essere $\omega^\omega$.
Non dovrebbe essere difficile costruire alla tua maniera $\omega$ nel intervallo $[0,1)$, $\omega^2$ in $[1,2)$, $\omega^3$ in $[2,3)$.... Ora l'ordinale risultante dovrebbe essere $\omega^\omega$.
Ok, grazie. In effetti funziona sfruttando in pratica l'eliminazione a sinistra della somma per cui:
$omega+omega^2+omega^3+...+omega^k=omega^k$ e passando al sup si ottiene proprio $omega^omega$.
Per gli ordinali più grandi di $omega^omega$ ho descritto lo stesso procedimento senza scrivere esplicitamente l'insieme ammesso che sia umanamente possibile. Grazie ancora.
$omega+omega^2+omega^3+...+omega^k=omega^k$ e passando al sup si ottiene proprio $omega^omega$.
Per gli ordinali più grandi di $omega^omega$ ho descritto lo stesso procedimento senza scrivere esplicitamente l'insieme ammesso che sia umanamente possibile. Grazie ancora.
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