Orbite di una permutazione

[Plepp]

Salve amici,
sto cercando di provare quanto segue.

Proposizione. Sia $\sigma\in \mathcal{S}_n$ e sia $a\in X : =\{1,..., n\}$. Allora esiste un intero positivo $l$ tale che l'orbita di $a$ sotto l'azione di $\sigma$ sia data da
\[\Omega_\sigma(a) = \{\sigma^0(a),\sigma^1(a),\dots, \sigma^{l-1}(a)\}\]
ove gli elementi elencati sono a due a due distinti.

In particolare dovrei dimostrare l'ultima parte dell'enunciato (quella sottolineata, per intenderci). Partendo dal presupposto che so già che
\[l=\min \underbrace{\{n\in \mathbb{N}\, |\, \sigma^n(a)=a\}}_{=: A},\]
suppongo per assurdo che $i,j\in ZZ$, $0\le j \[\sigma^{i-j}(a)=\sigma^0(a)=\text{id}(a)=a\]
D'altra parte $0

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Risposte

Kashaman

10 gen 2013, 19:57

Siano $i,j \in A={1,..,l-1}$ tali che $\sigma^i(a)=\sigma^j(a)$ (1) ,
da (1) si ha che $\sigma^(i-j)(a) = a = \sigma^0(a)$. Allora $i-j-=0(mod l ) $. Cioè $i-=j(modl)$. Cioé $i=j+nl , n \in ZZ$.
Poiché $i \in A$ non può che essere $n=0$ e cioè$i=j$.

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[Kashaman]

Siano $i,j \in A={1,..,l-1}$ tali che $\sigma^i(a)=\sigma^j(a)$ (1) ,
da (1) si ha che $\sigma^(i-j)(a) = a = \sigma^0(a)$. Allora $i-j-=0(mod l ) $. Cioè $i-=j(modl)$. Cioé $i=j+nl , n \in ZZ$.
Poiché $i \in A$ non può che essere $n=0$ e cioè$i=j$.