Orbita di un elemento ed estensioni semplici di Galois
Ho una domanda (spero stupida e dovuta solo alla mia stanchezza) sulle estensioni semplici di campo di Galois:
In un esercizio mi viene data una estensione di campi $QQ \subseteq E$ che poi si scopre essere di Galois perché $E$ è campo di spezzamento di un polinomio in $QQ[X]$, ossia un polinomio separabile poiché $QQ$ è perfetto.
Successivamente determino come è fatto il gruppo di Galois (che chiamerò $G$), nel senso che determino proprio come sono fatti tutti gli automorfismi trovando le immagini dei generatori.
A questo punto mi viene chiesto di determinare $\eta \in E$ tale che $E=QQ(\eta)$, ed è qua che non capisco il perché del procedimento, nelle soluzioni viene proposto un $\eta$ e viene calcolata l'orbita $\eta^G$ esplicitamente scrivendo tutti gli elementi in coordinate di una $QQ$-base (che viene determinata prima), in questo modo si mostra che tutti gli elementi calcolati sono diversi e che l'orbita ha cardinalità uguale al grado dell'estensione (quindi di $G$).
Non capisco perché mostrare che l'orbita dell'elemento abbia la stessa cardinalità del gruppo di Galois implichi che quell'elemento sia quello grazie al quale l'estensione è semplice.
Grazie mille a tutti
In un esercizio mi viene data una estensione di campi $QQ \subseteq E$ che poi si scopre essere di Galois perché $E$ è campo di spezzamento di un polinomio in $QQ[X]$, ossia un polinomio separabile poiché $QQ$ è perfetto.
Successivamente determino come è fatto il gruppo di Galois (che chiamerò $G$), nel senso che determino proprio come sono fatti tutti gli automorfismi trovando le immagini dei generatori.
A questo punto mi viene chiesto di determinare $\eta \in E$ tale che $E=QQ(\eta)$, ed è qua che non capisco il perché del procedimento, nelle soluzioni viene proposto un $\eta$ e viene calcolata l'orbita $\eta^G$ esplicitamente scrivendo tutti gli elementi in coordinate di una $QQ$-base (che viene determinata prima), in questo modo si mostra che tutti gli elementi calcolati sono diversi e che l'orbita ha cardinalità uguale al grado dell'estensione (quindi di $G$).
Non capisco perché mostrare che l'orbita dell'elemento abbia la stessa cardinalità del gruppo di Galois implichi che quell'elemento sia quello grazie al quale l'estensione è semplice.
Grazie mille a tutti
Risposte
L'orbita di cui parli consiste degli zeri del polinomio minimo di $eta$, quindi la cardinalità di tale orbita è uguale al grado di tale polinomio, che quindi è uguale al grado di $eta$ (cioè alla dimensione di $QQ(eta)$ su $QQ$). Se tale dimensione è uguale all'ordine del gruppo di Galois allora $QQ(eta)$ è proprio il campo di spezzamento che stai cercando.
Grazie mille, sei stato chiarissimo. Riassumendo ciò che dici funziona perché l'azione del gruppo di Galois sulle radici è fedele, giusto?
No, funziona perché l'azione del gruppo di Galois sulle radici è transitiva 
Mmmm, giusto 
. Faccio sempre confusione con fedele e transitiva, dovrei mettermi lì e costruirmi degli esempi per ricordami bene la cosa. Comunque la cosa mi torna perché dire che l'azione è fedele implica che ci sia una sola orbita.
In questo caso l'azione però è anche fedele, giusto?
Cercando di generalizzare ho trovato un'altra cosa: in generale l'azione del gruppo di Galois di un campo di spezzamento di un certo polinomio sulle radici di quel certo polinomio è sempre fedele, e se tale polinomio è irriducibile allora l'azione diventa anche transitiva. La cosa più o meno mi torna (ma potrei tranquillamente stare dicendo cavolate), è corretto?
Ossia se il campo è di spezzamento su di un polinomio riducibile allora questo ha una radice che [strike]potrebbe avere[/strike] ha un'orbita a parte, giusto?
. Faccio sempre confusione con fedele e transitiva, dovrei mettermi lì e costruirmi degli esempi per ricordami bene la cosa. Comunque la cosa mi torna perché dire che l'azione è fedele implica che ci sia una sola orbita.In questo caso l'azione però è anche fedele, giusto?
Cercando di generalizzare ho trovato un'altra cosa: in generale l'azione del gruppo di Galois di un campo di spezzamento di un certo polinomio sulle radici di quel certo polinomio è sempre fedele, e se tale polinomio è irriducibile allora l'azione diventa anche transitiva. La cosa più o meno mi torna (ma potrei tranquillamente stare dicendo cavolate), è corretto?
Ossia se il campo è di spezzamento su di un polinomio riducibile allora questo ha una radice che [strike]potrebbe avere[/strike] ha un'orbita a parte, giusto?
Se il polinomio ha $n$ radici allora il gruppo di Galois $G$ agisce su di loro quindi hai un omomorfismo $G to S_n$ (dove $S_n$ è il gruppo simmetrico di grado $n$).
Il fatto che l'azione è fedele (che è vero) significa che tale omomorfismo $G to S_n$ è iniettivo, in altre parole puoi pensare a $G$ come a un sottogruppo di $S_n$.
Il fatto che l'azione è transitiva è tradotto nel fatto che il polinomio è irriducibile. Per esempio supponi di avere il polinomio $(X^2-2)(X^2-3)$, questo ha due fattori irriducibili quindi ci sono due orbite dell'insieme delle radici, ovvero ${sqrt{2},-sqrt{2}}$ e ${sqrt{3},-sqrt{3}}$. Due orbite, quindi l'azione non è transitiva. Mi spiego? Se il polinomio fosse irriducibile avresti un'unica orbita, per esempio se hai $X^2+1$ allora l'unica orbita è ${i,-i}$, se hai $X^3-2$ l'unica orbita è [tex]\{\sqrt[3]{2},t \sqrt[3]{2}, t^2 \sqrt[3]{2} \}[/tex] dove $t$ è una radice cubica (primitiva) di $1$.
In altre parole l'azione del gruppo di Galois su un fattore irriducibile non può "uscire" da tale fattore, ovvero ti restituirà un'altra radice di questo stesso fattore irriducibile. Per questo le orbite dell'azione del gruppo di Galois sono esattamente date dagli zeri dei fattori irriducibili.
Riepilogando, se un elemento di $G$ fissa tutte le radici è l'identità (per definizione di campo di spezzamento) quindi l'azione di $G$ è fedele e possiamo pensarlo immerso in $S_n$. Se il polinomio di cui stiamo parlando è irriducibile allora l'azione del gruppo di Galois è transitiva ovvero date due radici qualsiasi esiste un elemento del gruppo che manda una nell'altra. Un'eventuale orbita non banale corrisponderebbe a un fattore irriducibile proprio.
Il fatto che l'azione è fedele (che è vero) significa che tale omomorfismo $G to S_n$ è iniettivo, in altre parole puoi pensare a $G$ come a un sottogruppo di $S_n$.
Il fatto che l'azione è transitiva è tradotto nel fatto che il polinomio è irriducibile. Per esempio supponi di avere il polinomio $(X^2-2)(X^2-3)$, questo ha due fattori irriducibili quindi ci sono due orbite dell'insieme delle radici, ovvero ${sqrt{2},-sqrt{2}}$ e ${sqrt{3},-sqrt{3}}$. Due orbite, quindi l'azione non è transitiva. Mi spiego? Se il polinomio fosse irriducibile avresti un'unica orbita, per esempio se hai $X^2+1$ allora l'unica orbita è ${i,-i}$, se hai $X^3-2$ l'unica orbita è [tex]\{\sqrt[3]{2},t \sqrt[3]{2}, t^2 \sqrt[3]{2} \}[/tex] dove $t$ è una radice cubica (primitiva) di $1$.
In altre parole l'azione del gruppo di Galois su un fattore irriducibile non può "uscire" da tale fattore, ovvero ti restituirà un'altra radice di questo stesso fattore irriducibile. Per questo le orbite dell'azione del gruppo di Galois sono esattamente date dagli zeri dei fattori irriducibili.
Riepilogando, se un elemento di $G$ fissa tutte le radici è l'identità (per definizione di campo di spezzamento) quindi l'azione di $G$ è fedele e possiamo pensarlo immerso in $S_n$. Se il polinomio di cui stiamo parlando è irriducibile allora l'azione del gruppo di Galois è transitiva ovvero date due radici qualsiasi esiste un elemento del gruppo che manda una nell'altra. Un'eventuale orbita non banale corrisponderebbe a un fattore irriducibile proprio.
Grazie mille! Hai messo chiarezza ad una questione per me molto "fumosa", soprattutto con l'esempio. Domani provo a ricostruirmi da solo tutti i passaggi e a farmi qualche esempio personale, se ho problemi scrivo ancora.
Ti ringrazio ancora
Ti ringrazio ancora
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