Operazioni tra insiemi
In un eserciziario ho trovato questo esercizio: mostrare che $aZZ uu bZZ sub dZZ$ dove $d=(a,b)$ e' il $MCD$
che avrei risolto in questo modo:
$x in aZZ uu bZZ <=> x in aZZ vv x in bZZ <=> EE m,n in ZZ => mx=a ^^ nx=b <=> x in dZZ$
che ne dite?
[Edit] scusate, ho corretto l'errore di digitazione ($x in bZZ$ invece di $z in bZZ$)
che avrei risolto in questo modo:
$x in aZZ uu bZZ <=> x in aZZ vv x in bZZ <=> EE m,n in ZZ => mx=a ^^ nx=b <=> x in dZZ$
che ne dite?
[Edit] scusate, ho corretto l'errore di digitazione ($x in bZZ$ invece di $z in bZZ$)
Risposte
Unico appunto: "cosa è $z$?".
per il resto, va bene?
Secondo me è sufficiente.
ok, grazie mille 
Soltanto una cosa (può darsi che sia una svista). All'ultimo passaggio non vale la doppia implicazione, infatti ad esempio $d \in d\mathbb{Z}$ ma non sempre $\in a\mathbb{Z} \cup b\mathbb{Z}$. Puoi prendere [tex]a=18[/tex], [tex]b= 27[/tex], [tex]d= 9[/tex] per verificarlo. Del resto a te basta mostrare una sola implicazione (perché devi verificare una sola inclusione, non la doppia inclusione)
In effetti il dubbio mi e' sorto, proprio per la definizione di inclusione tra insiemi.... colpa mia che ho fatto degli esempi in cui uno degli insiemi corrispondeva all'insieme $dZZ$ 
mostrare che $aZZ + bZZ = dZZ$ dove $d=(a,b)$
Questo esercizio e' simile al precedente, solo che non e' sempre valido. Ad esempio per $a=9$ e $b=18$, dove $d=3$, la somma degli elementi di $9ZZ$ con quelli di $18ZZ$ mi "lascia" fuori molti multipli di $3ZZ$, come $3,-3,6,-6,12,-12,....$,
a meno che $aZZ$ non sia uguale a $bZZ$.
Questo esercizio e' simile al precedente, solo che non e' sempre valido. Ad esempio per $a=9$ e $b=18$, dove $d=3$, la somma degli elementi di $9ZZ$ con quelli di $18ZZ$ mi "lascia" fuori molti multipli di $3ZZ$, come $3,-3,6,-6,12,-12,....$,
a meno che $aZZ$ non sia uguale a $bZZ$.
Se [tex]a=9,\ b=18[/tex] direi che [tex]d = 9[/tex]
quindi funziona in questo caso.
quindi funziona in questo caso.
Vero. Mea culpa.
Pero', come suggerito da Antimus, per $a=18, b=27, d=9$ avrei la situazione prima citata...
Pero', come suggerito da Antimus, per $a=18, b=27, d=9$ avrei la situazione prima citata...
C'è qualcosa che non quadra effettivamente. O si sono dimenticati qualche ipotesi...
Però, secondo me l'uguaglianza si ha solo nel caso in cui [tex]$a$[/tex] oppure [tex]$b$[/tex] coincida con [tex]$d=mcd(a,b)$[/tex].
Perché se [tex]$d$[/tex] è strettamente minore di entrambi, almeno il termine [tex]$d$[/tex] non apparterrà mai a [tex]$a\mathbb{Z} \cup b\mathbb{Z}$[/tex].
Però, secondo me l'uguaglianza si ha solo nel caso in cui [tex]$a$[/tex] oppure [tex]$b$[/tex] coincida con [tex]$d=mcd(a,b)$[/tex].
Perché se [tex]$d$[/tex] è strettamente minore di entrambi, almeno il termine [tex]$d$[/tex] non apparterrà mai a [tex]$a\mathbb{Z} \cup b\mathbb{Z}$[/tex].
"Antimius":Mi sembra che confondi [tex]a \mathbb{Z} \cup b \mathbb{Z}[/tex] con [tex]a \mathbb{Z} + b \mathbb{Z}[/tex]. Sono due cose diverse. Ti confermo che [tex]a \mathbb{Z} + b \mathbb{Z} = \text{MCD}(a,b) \cdot \mathbb{Z}[/tex].
se [tex]$d$[/tex] è strettamente minore di entrambi, almeno il termine [tex]$d$[/tex] non apparterrà mai a [tex]$a\mathbb{Z} \cup b\mathbb{Z}$[/tex].
"Martino":Mi sembra che confondi [tex]a \mathbb{Z} \cup b \mathbb{Z}[/tex] con [tex]a \mathbb{Z} + b \mathbb{Z}[/tex]. Sono due cose diverse. Ti confermo che [tex]a \mathbb{Z} + b \mathbb{Z} = \text{MCD}(a,b) \cdot \mathbb{Z}[/tex].[/quote]
[quote="Antimius"]se [tex]$d$[/tex] è strettamente minore di entrambi, almeno il termine [tex]$d$[/tex] non apparterrà mai a [tex]$a\mathbb{Z} \cup b\mathbb{Z}$[/tex].
Si, vero. L'unione e' un sottoinsieme della somma: $18ZZ uu 27ZZ sub 9ZZ=18ZZ+27ZZ$, perche' la somma di due insiemi e' definita come $aZZ+bZZ={ah+bk|h,k in ZZ}$, ecco perche' non riuscivo a capire l'esercizio.
Ops, mea culpa, non avevo notato il $+$, stavo facendo ancora riferimento all'insieme dell'esercizio precedente.
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