Operazioni con permutazioni - Esercizio
Salve a tutti, devo dire che anche la semplice consultazione del forum mi ha aiutato parecchio, ora però avrei qualche domanda alla quale non riesco a trovare risposta cercando nei 3d. ho questo esercizio
Si consideri la permutazione $ f in S_8 $ = $ (1357)(2468) $
a)stabilire la classe di $f$
e qui l'ho scomposta in $ (13)(15)(17)(24)(16)(28) $ e ottengo 6 trasposizioni quindi la classe è 6
b)calcolare $ f^2 $
qui penso si debba fare $ (1357)(2468) * (1357)(2468) $ ottenendo quindi $(15)(26)(37)(482)$ che secondo me è na castroneria bestiale
a sto punto meglio che mi fermo e chiedo aiuto anche per gli altri 2 punti dell'esercizio
c)scrivere $ f^2 $
d)calcolare il periodo di $ f $ quale elemento del gruppo $ S_8 $
grazie cmq a tutti quanti
Si consideri la permutazione $ f in S_8 $ = $ (1357)(2468) $
a)stabilire la classe di $f$
e qui l'ho scomposta in $ (13)(15)(17)(24)(16)(28) $ e ottengo 6 trasposizioni quindi la classe è 6
b)calcolare $ f^2 $
qui penso si debba fare $ (1357)(2468) * (1357)(2468) $ ottenendo quindi $(15)(26)(37)(482)$ che secondo me è na castroneria bestiale
a sto punto meglio che mi fermo e chiedo aiuto anche per gli altri 2 punti dell'esercizio
c)scrivere $ f^2 $
d)calcolare il periodo di $ f $ quale elemento del gruppo $ S_8 $
grazie cmq a tutti quanti
Risposte
Ciao duombo, provo a risponderti io.
Allora quello che hai fatto fino ad ora va bene ma c'è qualche errore:
ad esempio $(13)(15)(17)(24)(16)(28)$ sei sicuro che stia bene?
Tuttavia la classe è proprio $6$.
Per calcolare $f^2$, io utilizzo un piccolo "trucchetto" semplicemente anzichè fare un salto ne faccio $2$, e quindi $(1357)(2468)$ diventa $(15)(26)(37)(48)$
e infatti $f^2$ scritto in forma completa diventa $((12345678),(56781234))$.
Questo vale per tutte le "$f$", ad esempio $f^3$ è $=((12345678),(78123456))$.
Bene, adesso devi calcolare il periodo di $f$, ossia il numero di "salti" che devi effettuare per raggiungere questa configurazione $((12345678),(12345678))$.
Ti risparmio "la fatica" e ti dico subito che il periodo è = $4$.
Pensaci, perchè è $4$?
Allora quello che hai fatto fino ad ora va bene ma c'è qualche errore:
ad esempio $(13)(15)(17)(24)(16)(28)$ sei sicuro che stia bene?
Tuttavia la classe è proprio $6$.
Per calcolare $f^2$, io utilizzo un piccolo "trucchetto" semplicemente anzichè fare un salto ne faccio $2$, e quindi $(1357)(2468)$ diventa $(15)(26)(37)(48)$
e infatti $f^2$ scritto in forma completa diventa $((12345678),(56781234))$.
Questo vale per tutte le "$f$", ad esempio $f^3$ è $=((12345678),(78123456))$.
Bene, adesso devi calcolare il periodo di $f$, ossia il numero di "salti" che devi effettuare per raggiungere questa configurazione $((12345678),(12345678))$.
Ti risparmio "la fatica" e ti dico subito che il periodo è = $4$.
Pensaci, perchè è $4$?
"Sandruz":
Ciao duombo, provo a risponderti io.
Grazie mille Sandruz
Allora quello che hai fatto fino ad ora va bene ma c'è qualche errore:
ad esempio $(13)(15)(17)(24)(16)(28)$ sei sicuro che stia bene?
Tuttavia la classe è proprio $6$.
qui in realtà penso di aver sbagliato a scrivere perchè è $(13)(15)(17)(24)(26)(28)$
Per calcolare $f^2$, io utilizzo un piccolo "trucchetto" semplicemente anzichè fare un salto ne faccio $2$, e quindi $(1357)(2468)$ diventa $(15)(26)(37)(48)$
e infatti $f^2$ scritto in forma completa diventa $((12345678),(56781234))$.
Questo vale per tutte le "$f$", ad esempio $f^3$ è $=((12345678),(78123456))$.
fantastico, qui ho capito benissimo il dubbio che avevo
Bene, adesso devi calcolare il periodo di $f$, ossia il numero di "salti" che devi effettuare per raggiungere questa configurazione $((12345678),(12345678))$.
Ti risparmio "la fatica" e ti dico subito che il periodo è = $4$.
Pensaci, perchè è $4$?
Penso di aver capito, viene $4$ perchè $f^4$ mi da la permutazione identica infatti se prendo $f^3=(1753)(2864) * f=(1357)(2468)$ come risultato ho $f^4=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)$
giusto?
Giustissimo e ti dirò di più, se hai una permutazione composta da un solo ciclo il suo periodo sarà uguale al numero degli elementi (ad esempio se hai $f in S_5 = (124)$ il suo periodo sarà = a $3$ perchè il numero degli elementi è $3$), spero di essere stato chiaro.
Adesso fai attenzione:
Se la permutazione è scomposta in cicli disgiunti come ad esempio quella che hai postato tu ($f in S_8 = (1357)(2468)$) il periodo è = al $mcm(4,4)$
Dove (4,4) è il numero degli elementi dei due cicli. Sono stato chiaro? Scusa se non uso termini più appropriati.
Giusto per aiutarti ti ricordo che $mcm(a,b) = (a*b)/(MCD(a,b))$.
Nel nostro caso $mcm(4,4) = (4*4)/(MCD(4,4)) => 16/4 = 4$
Prego
Adesso fai attenzione:
Se la permutazione è scomposta in cicli disgiunti come ad esempio quella che hai postato tu ($f in S_8 = (1357)(2468)$) il periodo è = al $mcm(4,4)$
Dove (4,4) è il numero degli elementi dei due cicli. Sono stato chiaro? Scusa se non uso termini più appropriati.
Giusto per aiutarti ti ricordo che $mcm(a,b) = (a*b)/(MCD(a,b))$.
Nel nostro caso $mcm(4,4) = (4*4)/(MCD(4,4)) => 16/4 = 4$
Prego
"Sandruz":
Sono stato chiaro? Scusa se non uso termini più appropriati.
molto piu che chiaro, davvero grazie mille... sono davvero piacevolmente stupito del fatto che abbia trovato in giro per il forum molti thread in cui la risposta non si limita al solo risultato ma tende a far ragionare chi posta i propri dubbi...
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