Operazioni con le sezioni di Dedekind
Si vogliono definire le operazioni tra sezioni di Dedekind.
$(A,B)+(C,D) = (A+C,B+D)}$
dove $A+C = {a+c, a\in A, c\in C$.
Il prodotto invece dà problemi.
$(A,B)(C,D)=(AC,BD),$
dove $AC={ac,a\in A,c\in C}$.
Ora mi dicono che quest'ultima definizione è più problematica per via dei segni. Ma io non ci trovo nessun problema: mettiamo di avere due sezioni, una che rappresenta -1 e un altra che rappresenta 1. E' ovvio che se io moltiplico un numero razionale che si avvicina molto a -1 con un razionale che si avvicina molto a 1, ottengo un numero razionale che si avvicina molto a -1, com'è giusto che sia! Cioè la "regola" dei segni è rispettata già per i fatti suoi dalla definizione di PRODOTTO TRA RAZIONALI...allora perchè quella semplice definizione non basta?
E se non basta, come posso definire il prodotto rigorosamente?
Altra domanda. Non mi è stato dimostrato (cosa che mi dispiace parecchio) che AD OGNI punto della retta corrisponde UNA E UNA SOLA sezione di Dedekind.
PS. Come si sarà capito, la tematica della costruzione dei numeri mi affascina molto...per questo vorrei costruirmi degli appunti un pò più completi delle cose un pò frammentarie viste a lezione...
$(A,B)+(C,D) = (A+C,B+D)}$
dove $A+C = {a+c, a\in A, c\in C$.
Il prodotto invece dà problemi.
$(A,B)(C,D)=(AC,BD),$
dove $AC={ac,a\in A,c\in C}$.
Ora mi dicono che quest'ultima definizione è più problematica per via dei segni. Ma io non ci trovo nessun problema: mettiamo di avere due sezioni, una che rappresenta -1 e un altra che rappresenta 1. E' ovvio che se io moltiplico un numero razionale che si avvicina molto a -1 con un razionale che si avvicina molto a 1, ottengo un numero razionale che si avvicina molto a -1, com'è giusto che sia! Cioè la "regola" dei segni è rispettata già per i fatti suoi dalla definizione di PRODOTTO TRA RAZIONALI...allora perchè quella semplice definizione non basta?
E se non basta, come posso definire il prodotto rigorosamente?
Altra domanda. Non mi è stato dimostrato (cosa che mi dispiace parecchio) che AD OGNI punto della retta corrisponde UNA E UNA SOLA sezione di Dedekind.
PS. Come si sarà capito, la tematica della costruzione dei numeri mi affascina molto...per questo vorrei costruirmi degli appunti un pò più completi delle cose un pò frammentarie viste a lezione...
Risposte
[xdom="gugo82"]@newton_1372: Saresti così gentile da spiegarmi perché questa discussione, che stamattina avevo spostato in Algebra, ora me la ritrovo di nuovo in Analisi (postata ore dopo il messaggio originale) ed in Algebra non ve n'è più traccia?
Sono tutto orecchi...[/xdom]
Sono tutto orecchi...[/xdom]
Tutto occhi semmai...comunque non mi ero accorto che era stata spostata in algebra...comunque confesso che quello che sospetti è vero (l'ho eliminata e poi riscritta, ma credo di averlo fatto in analisi). Accetterò qualunque provvedimento nei miei confronti 
Con stima
Con stima
Uppo un pò perchè ora teoricamente sono legittimato a farlo, e un pò per il mio desiderio di ...regolarizzare la mia (scomoda) posizione sul forum 
C'è anche il desiderio di capire le sezioni di Dedekind, ma quello viene rimandato dopo la "regolarizzazione", se ancora mi sarà possibile...
C'è anche il desiderio di capire le sezioni di Dedekind, ma quello viene rimandato dopo la "regolarizzazione", se ancora mi sarà possibile...
Per la moltiplicazione credo sia sufficiente porre: dato $alpha in RR$ e $| alpha | = { (alpha text{ se } alpha >0),(-alpha text{ se } alpha <0):}$
allora
$alpha*beta =0 text{ se } alpha=0 vv beta=0$
$alpha*beta =|alpha|*|beta| text{ se } alpha>0,beta>0 vv alpha<0,beta<0$
$alpha*beta =-(|alpha|*|beta|) text{ se } alpha>0,beta<0 vv alpha<0,beta>0$
allora
$alpha*beta =0 text{ se } alpha=0 vv beta=0$
$alpha*beta =|alpha|*|beta| text{ se } alpha>0,beta>0 vv alpha<0,beta<0$
$alpha*beta =-(|alpha|*|beta|) text{ se } alpha>0,beta<0 vv alpha<0,beta>0$
E che cos'è l'opposto di un numero in termini di sezioni?
Posto $alpha=(A,B)$ allora $-alpha=(A^{\prime},B^{\prime})$ dove $A^{\prime}={q in QQ|-q in B\\{m}}$ dove $m$ è l'eventuale minimo di $B$.
Mi sei stato veramente utile! Grazie...
Di nulla 
(Una curiosità ma te dove studi? E cosa fai?)
Sono iscritto alla facoltà di Matematica di Cagliari, ma vivendo e lavorando a Sassari non frequento e studio da solo quando posso 
ritorno sull'annosa questione delle sezioni di dedekind.vorrei sapere chi mi garantisce che ad ogni punto della retta corrisponde una e una sola sezione. come si potrebbe dimostrare?
ragazzi scusate se riesumo questo topic...ma a lezione mi è stata spiegata l'operazione di somma tra sezioni di dedekind troppo sbrigativamente...sul mio libro di algebra questo argomento non c'è e sul web non riesco a trovare nulla...qualcuno sa spiegarmela?
da come ho capito vanno sommati i rispettivi sup(o elementi separatori) e il numero che ne è il risultato denota una nuova sezione...ad esempio se prendo la sezione definita da 0 e quella definita da -1/2,la nuova sezione sarà definita da -1/2...(risparmio la notazione insiemistica corretta xkè sono di fretta..)
Date due sezioni, [tex]\alpha=(A,A^')[/tex] e [tex]\beta=(B,B^')[/tex], con [tex]A=\{x \in \mathbb{Q} | x <0 \lor x < \alpha\}[/tex] e [tex]B=\{y \in \mathbb{Q} | y <0 \lor y < \beta\}[/tex], allora la somma è definita come:
[tex]+ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex]
[tex](\alpha,\beta) \mapsto \gamma=\alpha+\beta[/tex]
dove [tex]\gamma = (C,C^')[/tex] e [tex]C=\{x+y | x \in A, y \in B\}[/tex]
salvo errori.
[tex]+ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex]
[tex](\alpha,\beta) \mapsto \gamma=\alpha+\beta[/tex]
dove [tex]\gamma = (C,C^')[/tex] e [tex]C=\{x+y | x \in A, y \in B\}[/tex]
salvo errori.
grazie mille per la risposta!!!quindi una qualsiasi sezione sommata alla nulla non dovrebbe cambiare giusto?
Se per "sezione nulla" intendi l'elemento neutro additivo, allora la risposta è si.
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