Operazioni con irrazionali
Chiedo conferma di questa affermazione:
1) La somma (anche infinita) di numeri razionali non puo' mai essere un numero irrazionale
2) La somma di numeri irrazionali puo' essere un numero razionale
riuscite a fornirmi un esempio per il caso 2)?
1) La somma (anche infinita) di numeri razionali non puo' mai essere un numero irrazionale
2) La somma di numeri irrazionali puo' essere un numero razionale
riuscite a fornirmi un esempio per il caso 2)?
Risposte
la butto li.
per il primo punto direi cosi.
Considera $(QQ,+) $. $QQ$ è un gruppo con la ordinaria somma di addizione. Quindi sommando elementi di $QQ$ ottieni sempre elementi di $QQ$. Proprio perché $QQ$ essendo un gruppo, è chiuso rispetto alla somma. Quindi, con queste considerazioni la 1) sembrerebbe essere giustificata.
Per la seconda non saprei.
Per quanto riguarda il prodotto, due irrazionali possono dare un razionale.
Infatti prendi $sqrt2$
$sqrt2*sqrt2 = sqrt2^2 = 2$ .
Anche per il rapporto
prendi $\pi$
$\pi$ è irrazionale.
Lo è anche $1/\pi$ ma
$\pi/\pi=1$.
Per la somma, è anche vero..
Prova a considerare $sqrt2+.................................+sqrt2$ <-- n volte. forse, un razionale lo trovi (sull'ultimacosa non sono sicuro, verifica.
per il primo punto direi cosi.
Considera $(QQ,+) $. $QQ$ è un gruppo con la ordinaria somma di addizione. Quindi sommando elementi di $QQ$ ottieni sempre elementi di $QQ$. Proprio perché $QQ$ essendo un gruppo, è chiuso rispetto alla somma. Quindi, con queste considerazioni la 1) sembrerebbe essere giustificata.
Per la seconda non saprei.
Per quanto riguarda il prodotto, due irrazionali possono dare un razionale.
Infatti prendi $sqrt2$
$sqrt2*sqrt2 = sqrt2^2 = 2$ .
Anche per il rapporto
prendi $\pi$
$\pi$ è irrazionale.
Lo è anche $1/\pi$ ma
$\pi/\pi=1$.
Per la somma, è anche vero..
Prova a considerare $sqrt2+.................................+sqrt2$ <-- n volte. forse, un razionale lo trovi (sull'ultimacosa non sono sicuro, verifica.
"chess71":Sulla somma finita ti ha risposto Kashaman. Se per somma infinita intendi serie, allora ricorda per esempio la famosa uguaglianza [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2/6[/tex] (cf. qui). Non solo, direi che ogni irrazionale è una somma infinita di razionali.
1) La somma (anche infinita) di numeri razionali non puo' mai essere un numero irrazionale
2) La somma di numeri irrazionali puo' essere un numero razionaleSe [tex]a[/tex] è irrazionale allora anche [tex]-a[/tex] è irrazionale e [tex]a+(-a)=0[/tex] è razionale.
Stupefacente il fatto che una somma infinita di razionali sia un irrazionale.
Domanda : Il fatto che l'insieme degli irrazionali non sia chiuso rispetto al prodotto e alla somma, vuol dire che non è possibile pensare agli irrazionali come nessuna struttura algebrica a se stante, giusto?
E' per questo motivo che, sui libri di algebra , (o almeno in parte) , si accennano e non si descrivono come gli altri insiemi? E viene qualora detto semplicemente che gli irrazionali sono sottoinsieme dei reali e basta?
Succo del discorso : E' possibile pensare l'insieme degli irrazionali , con qualche somma e prodotto particolare, come una struttura algebrica come $QQ, RR, CC$?
@Martino :
Bello l'esempio per la somma di irrazionali.
E' semplice e diretta.
Domanda : Il fatto che l'insieme degli irrazionali non sia chiuso rispetto al prodotto e alla somma, vuol dire che non è possibile pensare agli irrazionali come nessuna struttura algebrica a se stante, giusto?
E' per questo motivo che, sui libri di algebra , (o almeno in parte) , si accennano e non si descrivono come gli altri insiemi? E viene qualora detto semplicemente che gli irrazionali sono sottoinsieme dei reali e basta?
Succo del discorso : E' possibile pensare l'insieme degli irrazionali , con qualche somma e prodotto particolare, come una struttura algebrica come $QQ, RR, CC$?
@Martino :
Bello l'esempio per la somma di irrazionali.
E' semplice e diretta.
"Kashaman":Direi di no. Non riesco a pensare a nemmeno un'operazione (sensata) definibile sull'insieme degli irrazionali.
Succo del discorso : E' possibile pensare l'insieme degli irrazionali , con qualche somma e prodotto particolare, come una struttura algebrica come $QQ, RR, CC$ ?
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