Operazione su un insieme ed elemento simmetrico.
Sia $A$ un insieme e sia $\sigma : A \times A \rightarrow A$ una operazione su $A$.
Se $\sigma$ è associativa ed ammette elemento neutro $e$, allora il simmetrico di un certo elemento $x \in A$, se esiste, è unico.
Domanda: se $\sigma$ non è associativa ma ammette elemento neutro $e$, il simmetrico di un $x in A$, se esiste, è ugualmente unico?
La mia risposta: no. Ma non riesco a costruirmi un esempio di operazione non associativa ma dotata di elemento neutro per la quale c'è almeno un suo elemento che abbia due simmetrici distinti. Forse perché la mia risposta è sbagliata?
Se $\sigma$ è associativa ed ammette elemento neutro $e$, allora il simmetrico di un certo elemento $x \in A$, se esiste, è unico.
Domanda: se $\sigma$ non è associativa ma ammette elemento neutro $e$, il simmetrico di un $x in A$, se esiste, è ugualmente unico?
La mia risposta: no. Ma non riesco a costruirmi un esempio di operazione non associativa ma dotata di elemento neutro per la quale c'è almeno un suo elemento che abbia due simmetrici distinti. Forse perché la mia risposta è sbagliata?
Risposte
Nessuna idea?
Io non ne ho: sbatto continuamente contro applicazioni che sono non associative e senza elemento neutro: non mi riesco a costruire una applicazione non associativa ma con elemento neutro per vedere se in questo caso il simmetrico possa non essere unico.
Io non ne ho: sbatto continuamente contro applicazioni che sono non associative e senza elemento neutro: non mi riesco a costruire una applicazione non associativa ma con elemento neutro per vedere se in questo caso il simmetrico possa non essere unico.
io finora non ci sono riuscita, e vado a "cozzare" con il problema della "commutatività": si sa nulla al riguardo?
mi spiego meglio: se non ricordo male, l'elemento neutro, se c'è, deve essere lo stesso a sinistra e a destra, ma il simmetrico, se l'operazione non è commutativa? conta l'eventuale doppio simmetrico se se ne considera uno a destra ed uno a sinistra?
mi spiego meglio: se non ricordo male, l'elemento neutro, se c'è, deve essere lo stesso a sinistra e a destra, ma il simmetrico, se l'operazione non è commutativa? conta l'eventuale doppio simmetrico se se ne considera uno a destra ed uno a sinistra?
cosa si intende per simmetrico?
@rubik
Sia $S$ un insieme e sia $sigma : S times S to S$ una operazione interna definita su $S$. Sia $S$ dotato di elemento neutro $e$: si dice che un elemento $x in S$ è simmetrizabile se e solo se $exists x' in S : x sigma x' = e = x' sigma x$.
L'elemento $x'$ è detto simmetrico di $x$ rispetto a $\sigma$.
@adaBTTLS
Con l'eventuale doppio simmetrico dovremmo ammettere che $\exists x \in S : \exists x', x'' \in S: x sigma x' = x' sigma x = e \wedge x sigma x'' = x'' sigma x = e \text{ con } x'!=x''$. E da qui come suggerisci di muovere?
Sia $S$ un insieme e sia $sigma : S times S to S$ una operazione interna definita su $S$. Sia $S$ dotato di elemento neutro $e$: si dice che un elemento $x in S$ è simmetrizabile se e solo se $exists x' in S : x sigma x' = e = x' sigma x$.
L'elemento $x'$ è detto simmetrico di $x$ rispetto a $\sigma$.
@adaBTTLS
Con l'eventuale doppio simmetrico dovremmo ammettere che $\exists x \in S : \exists x', x'' \in S: x sigma x' = x' sigma x = e \wedge x sigma x'' = x'' sigma x = e \text{ con } x'!=x''$. E da qui come suggerisci di muovere?
io come te ho trovato difficoltà, cercando esempi di leggi non associative, ad individuare un elemento neutro.
se hai un'idea (tipo scartare leggi commutative o concentrarsi su leggi commutative, dillo).
se hai un'idea (tipo scartare leggi commutative o concentrarsi su leggi commutative, dillo).
Mah, idee vere e proprie non ne ho: ieri sera ho provato a fare una operazione su un insieme di quattro elementi, ho stabilito che uno di questi quattro fosse quello neutro, ho scritto la composizione in modo che non fosse associativa per il primi due (i.e. componendo il primo con se stesso e poi col secondo il risultato era diverso da quello che si ottiene componendo il primo col secondo e poi ancora col primo), ma quando ho preso in esame il quarto e gli ho dato elemento neutro il secondo è venuto fuori che la composizione era associativa.
Mah...
Stasera faccio qualche altro test.
Mah...
Stasera faccio qualche altro test.
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