Operazione binaria

[Hornet345]

Ciao a tutti,
sto studiando le operazioni binarie nei gruppoidi e nei gruppi.
Non riesco a verificare una cosa.
Ho G,insieme composto da due elementi. Ho fatto il prodotto cartesiano e ottengo 4 coppie, le associo ai due elementi di G,e ottengo un totale 8 funzioni.
Secondo il testo le funzioni dovrebbero essere 16. Dove sbaglio?
Grazie in anticipo

[vlander]

Il numero di funzioni di tipo \(A \to B\) è \(|B|^{|A|}\), non \(|A| \cdot |B|\).

[Hornet345]

Ti ringrazio.
ragionavo cosi(sbagliando)
G= {a,b}
GxG ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
GxG--->G

ottengo:
(a,a)---->a
(a,a)---->b
(a,b)---->a
......
Per un totale di 8 funzioni. Come posso ottenere 16 funzioni in maniera, diciamo, grafica?
Grazie 1000

[Hornet345]

In effetti,
dovrebbe essere cosi:
(a,a)----->(a,b)
(a,b)----->(a,b) (funzione identità)
(b,b)----->(a,b)
(b,a)----->(a,b)

In un successivo esempio:

Dato l' insieme 2={1,2}
da cui derivano 4 funzioni:
2^2={id =( 1 2 ) ,f =( 1 2 ), g=( 1 2 ), h=( 1 2 ) }
( 1 2 ) ( 1 1 ), ( 2 2 ), ( 2 1 )

Ciò che non capisco è la costruzione della tavola pitagorica derivante dalla precedente:

* | id | f| g| h|
-----------------------------
id | id f g h
f | f f f f
g | g g g g
h | h g f id

Non ho capito come vengono costruite le sequenze... ad es. la seconda riga.
Grazie in anticipo

[vlander]

Riguardo \((G\times G)^G\) hai che gli elementi sono funzioni come:

\((a, a) \mapsto a\)
\((a, b) \mapsto a\)
\((b, a) \mapsto a\)
\((b, b) \mapsto a\)

e

\((a, a) \mapsto a\)
\((a, b) \mapsto b\)
\((b, a) \mapsto a\)
\((b, b) \mapsto a\)

e così via. Di queste funzioni ce ne sono \(2^4\) perché per ottenere una funzione "puoi scegliere" uno dei due elementi di \(G\) (insieme di arrivo) per ogni elemento di \(G\times G\).

Riguardo al secondo esempio, hai \(\Omega = \{1, 2\}\), allora le funzioni \(\Omega \to \Omega\) sono:

\(\text{id}\):
\(1 \mapsto 1\)
\(2 \mapsto 2\)

\(\text{f}\):
\(1 \mapsto 1\)
\(2 \mapsto 1\)

\(\text{g}\):
\(1 \mapsto 2\)
\(2 \mapsto 2\)

\(\text{h}\):
\(1 \mapsto 2\)
\(2 \mapsto 1\)

Ora, se \(x\) è una qualsiasi funzione \(\Omega \to \Omega\) puoi verificare facilmente che \(f \circ x = f\), perché \(f\) mappa tutti gli elementi di \(\Omega\) in \(1\). Se invece vuoi trovare che funzione è \(h \circ g\) basta che guardi quali valori assume la funzione in \(1\) e \(2\):

\((h \circ g) 1 = h(g(1)) = h(2) = 1\)
\((h \circ g) 2 = h(g(2)) = h(2) = 1\)

perciò \(h \circ g = f\).

In generale, le funzioni \(\Omega \to \Omega\) vengono dette endomorfismi di \(\Omega\) e come puoi facilmente vedere formano un monoide.

[Hornet345]

Grazie, sei stato molto chiaro!