Operazione ben posta e mal posta (in pratica)
Ho qualche difficoltà nel dimostrare che un'operazione è ben posta.
Dalla definizione, so che se $[x]=[x']$ devo trovare $[f(x)]=[f(x')]$, giusto? (se è errata potete dirmi quella corretta?)
Nella pratica però non riesco ad applicarla.
ES.
In $ZZ/(2ZZ)$ sia definita la seguente operazione $*$:
$[n]*[m]=[m^n]$
Certo, per dimostrare che non è ben definita mi basterebbe notare che:
$[0]=[4]$ ma $[2]*[0]=[1]$ e $[2]*[4]=[16]=[0]$
Tuttavia non sempre riesco a trovare dei controesempi...
Qualcuno riesce a mostrarmi come si dimostra che è mal posta direttamente dalla definizione?
Grazie!
Dalla definizione, so che se $[x]=[x']$ devo trovare $[f(x)]=[f(x')]$, giusto? (se è errata potete dirmi quella corretta?)
Nella pratica però non riesco ad applicarla.
ES.
In $ZZ/(2ZZ)$ sia definita la seguente operazione $*$:
$[n]*[m]=[m^n]$
Certo, per dimostrare che non è ben definita mi basterebbe notare che:
$[0]=[4]$ ma $[2]*[0]=[1]$ e $[2]*[4]=[16]=[0]$
Tuttavia non sempre riesco a trovare dei controesempi...
Qualcuno riesce a mostrarmi come si dimostra che è mal posta direttamente dalla definizione?
Grazie!
Risposte
Tutto giusto.
No, non si dimostra che è mal posta.
Devi (e ti basta!) trovare solo un controesempio.
Anche perchè non è detto che l'operazione sia sempre mal posta: non so se mi spiego, potrebbero esserci delle coppie per cui l'operazione è compatibile. Ripeto, basta trovarne una perchè caschi il giochino.
"dotmanu":
Tuttavia non sempre riesco a trovare dei controesempi...
Qualcuno riesce a mostrarmi come si dimostra che è mal posta direttamente dalla definizione?
Grazie!
No, non si dimostra che è mal posta.
Devi (e ti basta!) trovare solo un controesempio.
Anche perchè non è detto che l'operazione sia sempre mal posta: non so se mi spiego, potrebbero esserci delle coppie per cui l'operazione è compatibile. Ripeto, basta trovarne una perchè caschi il giochino.
Grazie per la tempestiva risposta, tuttavia il mio dubbio rimane...
Nel senso che, come faccio a sapere di aver considerato tutti i casi possibili e non averne saltato qualcuno per cui non funziona?
In altre parole, che strada usi per trovare un controesempio e quando decidi che i tuoi tentativi sono abbastanza se ancora non l'hai scovato?
Se inoltre riesci a farmi un'esempio in cui dimostri che un'operazione è ben posta mi fai un grandissimo favore...!!!
Nel senso che, come faccio a sapere di aver considerato tutti i casi possibili e non averne saltato qualcuno per cui non funziona?
In altre parole, che strada usi per trovare un controesempio e quando decidi che i tuoi tentativi sono abbastanza se ancora non l'hai scovato?
Se inoltre riesci a farmi un'esempio in cui dimostri che un'operazione è ben posta mi fai un grandissimo favore...!!!
Be', calma.
Il discorso ovviamente non vale al contrario: non è che dici: "sì, funziona con 10 casi, allora è ben definita".
Io, di solito, quando mi trovo davanti ad un'operazione (definita su un insieme quoziente), faccio così: la guardo, con calma e mi faccio un'idea: è ben definita? oppure no?
Allora faccio qualche tentativo: se vedo che funzionano allora provo a dimostrare che la definizione è buona; se ne trovo almeno uno che non va allora ho finito.
Ad esempio, che mi dici di: $f:ZZ_4 to ZZ_8$ che manda $[x]_4 mapsto [2x]_8$ ($f$ manda classe $x$ di $ZZ_4$ in classe $2x$ di $ZZ_8$)? E' ben definita?
Il discorso ovviamente non vale al contrario: non è che dici: "sì, funziona con 10 casi, allora è ben definita".
Io, di solito, quando mi trovo davanti ad un'operazione (definita su un insieme quoziente), faccio così: la guardo, con calma e mi faccio un'idea: è ben definita? oppure no?
Allora faccio qualche tentativo: se vedo che funzionano allora provo a dimostrare che la definizione è buona; se ne trovo almeno uno che non va allora ho finito.
Ad esempio, che mi dici di: $f:ZZ_4 to ZZ_8$ che manda $[x]_4 mapsto [2x]_8$ ($f$ manda classe $x$ di $ZZ_4$ in classe $2x$ di $ZZ_8$)? E' ben definita?
Allora, grazie sempre per la disponiblità!
Io ho ragionato così:
0 va in 0
4 va in 8=0
1 va in 2
5 va in 10=2
2 va in 4
6 va in 12=4
3 va in 6
7 va in 14=6
quindi non ho trovato un controesempio.
Prova allora a dimostrare che è ben posta (anche se non sono sicuro che il procedimento sia giusto):
se $x=x'rarrx-x'=4k$
quindi devo dimostrare che $f(x-x')=f(4k)$
$f(x-x')rarr2(x-x')=2(4k)=8k$
$f(2k)rarr2(2k)=8k$
quindi è ben posta!
Io ho ragionato così:
0 va in 0
4 va in 8=0
1 va in 2
5 va in 10=2
2 va in 4
6 va in 12=4
3 va in 6
7 va in 14=6
quindi non ho trovato un controesempio.
Prova allora a dimostrare che è ben posta (anche se non sono sicuro che il procedimento sia giusto):
se $x=x'rarrx-x'=4k$
quindi devo dimostrare che $f(x-x')=f(4k)$
$f(x-x')rarr2(x-x')=2(4k)=8k$
$f(2k)rarr2(2k)=8k$
quindi è ben posta!
In linea di massima dovrebbe essere corretto ciò che hai fatto.
Te lo scrivo in un altro modo (come sono abituato a fare io), nella speranza che ti possa essere utile.
Verifichiamo che il valore della funzione non dipende dal rappresentante: $[x]_4=[y]_4=>[f(x)]_8=[f(y)]_8$
$[x]_4=[y]_4=>x equiv y mod 4 => x-y=4k, " " k in ZZ => 2x-2y=8k=>2x equiv 2y mod 8$ da cui la tesi.
Spero sia tutto chiaro.
Te lo scrivo in un altro modo (come sono abituato a fare io), nella speranza che ti possa essere utile.
Verifichiamo che il valore della funzione non dipende dal rappresentante: $[x]_4=[y]_4=>[f(x)]_8=[f(y)]_8$
$[x]_4=[y]_4=>x equiv y mod 4 => x-y=4k, " " k in ZZ => 2x-2y=8k=>2x equiv 2y mod 8$ da cui la tesi.
Spero sia tutto chiaro.
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